2012-大纲卷理-05 单-数列

本题导读

本题考查等差数列的通项公式，以及等差数列的前项和公式。

📌【题干】

Question

（2012年大纲卷(理)） 已知等差数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，$a_5=5$，$S_5=15$，则数列 $\left\{\frac{1}{a_n{a}_{n+1}}\right\}$ 的前 100 项和为()

A. $\frac{100}{101}$　　　　B. $\frac{99}{101}$　　　　C. $\frac{99}{100}$　　　　D. $\frac{101}{100}$

🔍【思路分析】

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1. 求基本量：设等差数列 $\{a_n\}$ 的首项为 $a_1$，公差为 $d$。由 $a_5=5$ 和 $S_5=15$ 列出关于 $a_1,d$ 的二元一次方程组，解出 $a_1$ 和 $d$。
2. 写出通项公式：代入等差数列通项公式 $a_n=a_1+(n-1)d$，求出 $a_n$ 与 $a_{n+1}$ 的具体代数式。
3. 裂项变形：将目标数列的通项 $\frac{1}{a_n{a}_{n+1}}$ 进行分式裂项，转化为 $\frac{1}{d}\left(\frac{1}{a_n}-\frac{1}{a_{n+1}}\right)$ 的形式。
4. 求和相消：将前 100 项顺次展开，中间各项正负抵消，保留首尾两项即可算出答案。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

设等差数列 $\{a_n\}$ 的首项为 $a_1$，公差为 $d$。 由题意可得方程组： $\{\begin{array}{l}{a}_1+4d=5\\ 5a_1+\frac{5\times 4}{2}d=15\end{array}⟹\{\begin{array}{l}{a}_1+4d=5\text{(1)}\\ 5a_1+10d=15\text{(2)}\end{array}$

将②式两边同除以 5 得： $a_1+2d=3\text{(3)}$

用①式减去③式（① - ③）得： $2d=2⟹d=1$

将 $d=1$ 代入③式得： $a_1+2=3⟹a_1=1$

所以，等差数列 $\{a_n\}$ 的通项公式为： $a_n=a_1+(n-1)d=1+(n-1)\times 1=n$ 由此可得： $a_{n+1}=n+1$

目标数列的通项公式为： $\frac{1}{a_n{a}_{n+1}}=\frac{1}{n(n+1)}$

利用裂项相消公式 $\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，记前 100 项和为 $W_{100}$： $W_{100}=\left(1-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)+\cdots +\left(\frac{1}{100}-\frac{1}{101}\right)$

展开后，中间各项全部正负抵消，仅剩第一项和最后一项： $W_{100}=1-\frac{1}{101}=\frac{100}{101}$

故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：等差数列的基本量运算、分式数列的裂项相消法。
2. 核心方法：裂项相消思想。将数列的每一项拆成两项之差，在求和时通过中间项的成对抵消来简化运算。
3. 避坑指南：

• 裂项系数遗漏：本题中公差 $d=1$，所以 $\frac{1}{a_n{a}_{n+1}}=\frac{1}{1}\left(\frac{1}{a_n}-\frac{1}{a_{n+1}}\right)$。若遇到公差 $d\ne 1$ 的情况（例如 $d=2$），切记在括号外部提取系数 $\frac{1}{2}$，否则会导致整体结果翻倍。
• 相消边界混淆：在写出末项时，注意前 100 项和的最后一项分母是 100 与 101，不要错写成 $\frac{1}{99}-\frac{1}{100}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题源于人教A版高中数学选择性必修第二册第四章《数列》中关于数列求和的典型综合习题。裂项相消法是高频考查的经典非等差等比求和模型，常用于解析各类分式结构。
2. 结论推广:

• 一般化模型：若 $\{a_n\}$ 是首项为 $a_1$、公差为 $d(d\ne 0)$ 的等差数列，则对于变形分式数列 $\left\{\frac{1}{a_n{a}_{n+1}}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $V_n$ 满足： $\frac{1}{a_n{a}_{n+1}}=\frac{1}{d}\left(\frac{1}{a_n}-\frac{1}{a_{n+1}}\right)$
• 其前 $n$ 项和的通用推广公式为： $V_n=\frac{1}{d}\left(\frac{1}{a_1}-\frac{1}{a_{n+1}}\right)$
• 本题中 $a_1=1,d=1,n=100$，代入推广公式直接计算：$V_{100}=\frac{1}{1}\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{101}\right)=\frac{100}{101}$。掌握此通式可在解答选择、填空题时实现快速口算。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结 类题演练 (Links)

• 2013-大纲卷理-17 解-等差数列通项

• 2014-大纲卷理-18 解-等差数列通项

• 2010-山东卷文-18 解-等差数列通项与裂项