本题导读
本题考查简单线性规划，以及二元一次不等式组表示的平面区域。
📌【题干】
Question
（2012年大纲卷(理)） 若 满足约束条件 ，则 的最小值为 .
🔍【思路分析】
破题导航
- 绘制可行域：将约束条件中的三个边界不等式转化为直线方程，在平面直角坐标系中画出对应的直线，并通过“选点法”（如原点法）确定各不等式所指示的半平面，从而交汇得到公共的封闭或开放三角形可行域。
- 转换目标函数：将 变形为直线的斜截式方程 。此方程表示一组斜率固定为 、纵截距为 的平行移动直线族。
- 数形结合定极值：纵截距 越大时， 越小；反之，纵截距 最小时， 最大。在可行域内平移该直线，寻找使其纵截距 达到最大时的临界接触顶点。
- 联立方程求最值：确定最优解顶点后，联立对应的边界直线方程求出该顶点的具体坐标 ，代入目标函数即可求出答案。
✅【答案】
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✍【详细解析】
Abstract
解法一：几何图解法（最优解） 首先，在平面直角坐标系中绘制出约束条件对应的边界直线：
通过代入测试点判定区域，不等式组 共同围成一个封闭的三角形区域（可行域）。
设该三角形的三个顶点分别为 。联立边界方程求其坐标：
- 联立 与 求得顶点 ：
- 联立 与 求得顶点 ：
- 联立 与 求得顶点 ：
将目标函数 化为斜截式方程： 这表示一组斜率为 ，在 轴上的截距为 的动直线。
在可行域内平移直线 。由于斜率为 ，当动直线往左上方平移时，纵截距 逐渐变大，从而使得 逐渐变小。 根据图形的相对位置分布，当直线经过可行域的左侧边界顶点 时，动直线处于最左上方的位置，此时纵截距 达到最大值，即 取得最小值。
将最优解顶点 的坐标代入目标函数中：
填空题答案为：。
解法二：端点代入精确法（可行域封闭时的捷径） 由于本题的约束条件所围成的平面区域是一个有界的凸多边形（封闭三角形），根据线性规划的基本定理，线性目标函数的极值（最大值或最小值）必然在可行域的顶点（端点）处取得。
由解法一已求得可行域的所有三个顶点坐标为 。 直接将这三个顶点的坐标分别代入目标函数 中进行定量比对：
- 代入点 ：
- 代入点 ：
- 代入点 ：
通过直接比较得出的三个数值大小： 由此显见， 目标函数 的最小值为 （在点 处取得），最大值为 （在点 处取得）。
填空题答案为：。
💡【考点归纳与避坑指南】
Danger
- 核心考点：二元一次不等式组对应平面区域的作图表达、目标函数的截距几何意义、凸多边形顶点极值定理。
- 核心方法：数形结合法与平行平移法。把握目标函数中变量的符号是平移法的核心，对于 ，若 ，则 与纵截距 的移动方向反向，这一点在作图平移时需特别注意。
- 避坑指南：
- 截距正负颠倒导致极值看错：在解法一中，目标函数展开为 ，截距项为 。很多考生容易形成“直线往上平移截距变大所以 变大”的思维定势，从而误把经过 点错认成最小值。切记截距带负号时， 与截距的变化趋势完全相反。
- 边界直线画错：作图时由于粗心可能将 的截距点 和 画错，进而导致交点联立计算错误。
📖【试题探源与推广】
Tip
- 试题探源: 本题源于人教A版高中数学必修第二册第七章《立体几何初步》之前的传统必修内容（现普遍作为选修或代数综合模块）。线性规划是典型的运筹学基础模型，考查将离散代数约束与平面空间几何最优值进行交叉对齐。
- 结论推广:
- 凸区域顶点极值通用定则：对于任意由二元一次不等式组围成的封闭凸多边形可行域，若目标函数为线性式 。
- 该目标函数的极值必定在其边界的某个顶点上取得。在解答高考填空题或选择题时，无需进行繁琐的画图平移论证。
- 快速快捷通法：直接找出所有边界两两联立的交点，筛选出符合所有不等式条件的合规顶点，将所有顶点坐标代入目标函数后直接挑选出最大值与最小值。本题中三个交点皆为合规顶点，通过解法二的顶点代入法，可在极短时间内得出 的精确结果。
🔗【关联脉络】
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