本题导读
本题考查异面直线所成的角，以及空间向量基本定理。
📌【题干】
Question
（2012年大纲卷(理)） 在三棱柱 中，底面边长和侧棱长都相等，，则异面直线 与 所成角的余弦值为 .
🔍【思路分析】
破题导航
- 构建空间基底：由于侧棱与底面不垂直（斜三棱柱），不便于直接建立直角坐标系。最佳路径是选择由顶点 出发的三条棱对应的向量 作为空间的一组基底。
- 定量基底基本量：设所有棱长均为 。底面 是等边三角形，故 。已知 。由此可算出两两基底向量之间的数量积（均为 ）。
- 线性表示方向向量：利用向量加减法的首尾相接法则，将两条目标异面直线的方向向量 与 均用这组基底线性展开。
- 数量积求夹角余弦：分别计算出两个方向向量的数量积 以及它们各自的模长。代入空间向量夹角公式算出余弦值，最后根据异面直线夹角范围为 取绝对值。
✅【答案】
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✍【详细解析】
Abstract
设三棱柱 的所有棱长均相等，不妨设棱长均为 。 选择从顶点 出发的三条空间有向线段作为基底，令：
第一步：计算基底两两之间的数量积
- 侧棱长与底面边长相等，且底面 的三边相等，说明底面 为正三角形，则 ：
- 已知侧面夹角 ： 并且基底的平方项满足：。
第二步：用基底线性表示方向向量 根据三棱柱的平行移动及向量加减法规则：
- 对于向量 ：
- 对于向量 ：
第三步：计算向量的数量积与模长
求数量积 ： 运用多项式乘法展开： 消去相反项 与 得： 代入基本量数值计算：
求向量 的模长： 代入基本量：
求向量 的模长： 代入基本量数据：
第四步：计算夹角余弦值 设异面直线 与 所成的角为 。由两向量夹角公式可得： 代入计算：
填空题答案为：。
💡【考点归纳与避坑指南】
Danger
- 核心考点：斜三棱柱的空间几何结构、空间向量基本定理（基底分解法）、空间向量夹角余弦公式。
- 核心方法：空间向量基底法。在不便于、或者建立空间直角坐标系步骤极其繁琐的倾斜三棱柱、斜四棱锥等非垂直立体几何图形中，选择同一个顶点出发的三条侧棱作为基底，把所有线段代数化，是绕过建系画图寻找垂足的最佳通法。
- 避坑指南：
- 误判底面夹角：题目虽然给出了侧面夹角 ，但底面 的夹角需要考生由“底面边长相等”自行判定出其为正三角形，从而确定 的夹角也是 。
- 忽视异面直线夹角范围：异面直线所成的角 ，对应的余弦值必须为正数。若计算出的向量数量积为负数，切记在最后一步套上绝对值。
📖【试题探源与推广】
Tip
- 试题探源: 本题源于人教A版高中数学选择性必修第二册第一章《空间向量与立体几何》中关于空间向量基本定理应用的章末综合提升题。是高考在立体几何非垂直结构中考查数形结合及代数推导能力的经典常规压轴题。
- 结论推广:
- 等边斜三棱柱异面直线夹角通用模型：若一斜三棱柱的所有棱长均为 ，且从同一顶点出发的三条棱两两夹角均相等（即 ）。
- 设 。通过基底分解法展开数量积与模长平方项，经完全对称的因式通分化简后，可推导得出其侧面对角线 与 异面夹角余弦值的通用推广公式：
- 将 代入此最终核准公式公式： 。
- 熟记此最终推广结论，在面对任何三轴对称斜三棱柱的对角线异面夹角问题时，只需将夹角的余弦值 代入该式，即可免去全部空间多项式展开的漫长计算。
🔗【关联脉络】
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