2012-天津卷文-17 解-四棱锥线面角

本题导读

本题考查异面直线所成的角。核心在于建系法、向量法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2012年天津卷(文)） 如图，在四棱锥 $P-ABCD$ 中，底面 $ABCD$ 是矩形，$AD\perp PD$，$BC=1$，$PC=2\sqrt{3}$，$PD=CD=2$.

(1)求异面直线 $PA$ 与 $BC$ 所成角的正切值；

(2)证明：平面 $PDC\perp$ 平面 $ABCD$；

(3)求直线 $PB$ 与平面 $ABCD$ 所成角的正弦值.

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🔍【思路分析】

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建系解得 $P(0,-1,\sqrt{3})$；$PA$ 与 $BC$ 所成角的正切值为 $2$；由 $AD\perp$ 平面 $PDC$ 得面面垂直；$PB$ 与底面所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{39}}{13}$。

✅【答案】

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(1)$2$；(2)见解析；(3)$\frac{\sqrt{39}}{13}$

✍【详细解析】

Abstract

以 $D$ 为原点、$DA$、$DC$ 所在直线为 $x$ 轴、$y$ 轴，过 $D$ 作底面的垂线为 $z$ 轴建系，则 $A(1,0,0)$，$C(0,2,0)$，$B(1,2,0)$。

由 $AD\perp PD$ 与 $AD\perp DC$ 得 $AD\perp$ 平面 $PDC$，故 $P$ 在平面 $PDC$（即 $x=0$ 的坐标面）内，设 $P(0,s,t)$。

由 $PD=2$ 得 $s^2+t^2=4$；由 $PC=2\sqrt{3}$ 得 $(s-2{)}^2+t^2=12$。两式相减得 $-4s+4=8$，$s=-1$，进而 $t^2=3$，取 $t=\sqrt{3}$，即 $P(0,-1,\sqrt{3})$。

（1）$BC\parallel AD$，故异面直线 $PA$ 与 $BC$ 所成角等于 $PA$ 与 $AD$ 所成角。 $\overrightarrow{AP}=(-1,-1,\sqrt{3})$，$\overrightarrow{AD}=(-1,0,0)$，$\cos \theta =\frac{|\overrightarrow{AP}\cdot \overrightarrow{AD}|}{|\overrightarrow{AP}||\overrightarrow{AD}|}=\frac{1}{\sqrt{5}}$，故 $\tan \theta =\frac{\sqrt{1-\frac{1}{5}}}{\frac{1}{\sqrt{5}}}=2$。

（2）由 $AD\perp$ 平面 $PDC$ 且 $AD\subset$ 平面 $ABCD$，得平面 $PDC\perp$ 平面 $ABCD$。

（3）平面 $ABCD$ 的一个法向量 $\vec{n}=(0,0,1)$，$\overrightarrow{PB}=(1,3,-\sqrt{3})$。 $\sin \theta =\frac{|\overrightarrow{PB}\cdot \vec{n}|}{|\overrightarrow{PB}||\vec{n}|}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{1+9+3}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{13}}=\frac{\sqrt{39}}{13}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：异面直线所成角；面面垂直的判定定理；线面角的向量求法

核心方法：先证关键垂直再建系，几何法与向量法结合

避坑指南：$P$ 的坐标要由 $PD$、$PC$ 两个长度方程联立解出，别默认 $PD\perp$ 底面；异面直线所成角的范围是 $\left(0,\frac{\pi }{2}\right]$，取正值。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：四棱锥中的空间角解答题，与 2014 年天津卷文第 17 题、2015 年天津卷文第 17 题同族。

结论推广：$AD\perp$ 平面 $PDC$ 由 $AD\perp PD$ 与矩形邻边垂直 $AD\perp DC$ 立即得到；线面角的正弦等于向量与法向量夹角余弦的绝对值。

方法推广：立体几何解答题：先证关键垂直再建系，按一设、二证、三算书写；求角最后必须化成三角函数值。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系

类题演练 (Links)

• 2014-天津卷文-17 解-四棱锥线面角
• 2015-天津卷文-17 解-线面角
• 2013-天津卷文-17 解-三棱柱线面平行垂直