2012-天津卷理-11 填-集合运算

本题导读

本题考查集合的交集运算，以及绝对值与一元二次不等式的解法。

📌【题干】

Question

（2012年天津卷(理)） 已知集合 $A=\{x\in \mathbb{R}\mid |x+2|<3\}$，集合 $B=\{x\in \mathbb{R}\mid (x-m)(x-2)<0\}$，且 $A\cap B=(-1,n)$，则 $m=$ $\underline{}$，$n=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 化简集合 $A$：解绝对值不等式 $|x+2|<3$ 得 $A=(-5,1)$。
2. 分析集合 $B$：$(x-m)(x-2)<0$ 的解集是以 $m$ 与 $2$ 为端点的开区间。
3. 对照交集：由 $A\cap B=(-1,n)$ 的左端点反推 $m$，再算右端点得 $n$。

✅【答案】

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$-1$，$1$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：化简集合 $A$ 由 $|x+2|<3$ 得 $-3<x+2<3$，即 $-5<x<1$，故 $A=(-5,1)$。

第二步：确定集合 $B$ 的形式 $B=\{x\in \mathbb{R}\mid (x-m)(x-2)<0\}$ 是以 $m$ 与 $2$ 为端点的开区间。

第三步：由交集反推 已知 $A\cap B=(-1,n)$，其左端点为 $-1$，而 $A$ 的左端点为 $-5$，故 $-1$ 只能来自 $B$ 的左端点，于是 $m=-1$，此时 $B=(-1,2)$。 $A\cap B=(-5,1)\cap (-1,2)=(-1,1)$ 对照 $A\cap B=(-1,n)$ 得 $n=1$。

故应填 $-1$ 与 $1$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：集合的交集运算，绝对值不等式与一元二次不等式的解法。

核心方法：数轴法——把各集合的范围标在数轴上，重叠部分即为交集。

避坑指南：$(x-m)(x-2)<0$ 的解集端点顺序取决于 $m$ 与 $2$ 的大小，需结合交集结果反推 $m=-1$，不能默认 $m<2$ 或 $m>2$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源自集合运算与不等式解法的交汇，属集合题中的”逆向求参”型。

结论推广：已知交集反求参数时，先化简确定的集合，再用交集的端点与已知集合的端点比对。

方法推广：涉及含参一元二次不等式 $(x-m)(x-2)<0$ 时，先讨论 $m$ 与 $2$ 的大小再定区间。

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