2012-安徽卷理-06 单-立体几何

本题导读

本题考查平面与平面垂直的判定与性质，以及充分必要条件的判定。

📌【题干】

Question

（2012年安徽卷(理)）设平面 $α$ 与平面 $β$ 相交于直线 $m$ ，直线 $a$ 在平面 $α$ 内.直线 $b$ 在平面 $β$ 内，且 $b ⊥ m$ ，则“ $α ⊥ β$ ”是“ $a ⊥ b$ ”的()

A. 充分不必要条件　　　　　　　　　　B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件　　　　　　　　　　　D. 既不充分也不必要条件

🔍【思路分析】

破题导航

分析充分性（若 $α ⊥ β$ ，是否必有 $a ⊥ b$ ）：

利用面面垂直的性质定理：若两平面垂直，则在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面。

判断直线 $b$ 与平面 $α$ 的位置关系，进而确定 $b$ 与 $α$ 内任意直线 $a$ 的关系。

分析必要性（若 $a ⊥ b$ ，是否必有 $α ⊥ β$ ）：

考虑直线 $a$ 的特殊位置。如果 $a$ 与交线 $m$ 平行，此时 $a ⊥ b$ 是否能推导出面面垂直？

寻找反例：构造一个 $a ⊥ b$ 成立但两个平面不垂直的模型。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

一、充分性证明： 已知 $α \cap β = m$ ， $b \subset β$ 且 $b ⊥ m$ 。若 $α ⊥ β$ ，根据面面垂直的性质定理：

“若两个平面互相垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。”

由此可得 $b ⊥ α$ 。又因为直线 $a$ 在平面 $α$ 内，根据线面垂直的定义：

“如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的任意一条直线。”

所以必有 $b ⊥ a$ ，即充分性成立。

二、必要性验证： 若 $a ⊥ b$ ，且已知 $b ⊥ m$ 。考虑一种特殊情况：设直线 $a$ 在平面 $α$ 内且 $a ∥ m$ 。由于 $b ⊥ m$ ，根据平行线性质，必然有 $b ⊥ a$ 。但在这种情况下，平面 $α$ 和平面 $β$ 之间的夹角（二面角）可以是任意度数（不一定要垂直）。例如：打开的书本，书脊为 $m$ ，一页为 $α$ ，另一页为 $β$ 。在 $β$ 上作垂直于书脊的线 $b$ ，在 $α$ 上作平行于书脊的线 $a$ ，此时无论书本张开多大角度， $a, b$ 始终是异面垂直关系。因此，由 $a ⊥ b$ 不能推导出 $α ⊥ β$ ，即必要性不成立。

综上所述，“ $α ⊥ β$ ”是“ $a ⊥ b$ ”的充分不必要条件。

故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：面面垂直性质定理的准确应用（ $b \subset β, β ⊥ α, b ⊥ m ⟹ b ⊥ α$ ）。

核心方法：逻辑判断法。判断充分必要条件时，务必分别从“正向”和“反向”两个方向独立推导。

易错点：忽略“直线 $a$ 在平面 $α$ 内”的随机性。必要性不成立的原因在于 $a$ 可以是 $α$ 内不垂直于 $m$ 的直线（如平行于 $m$ 的直线）。

📖【试题探源与推广】

Tip

结论推广: 若直线 $b$ 垂直于平面 $α$ 内的两条相交直线，则 $b ⊥ α$ ，此时若 $b \subset β$ ，则必有 $α ⊥ β$ 。

方法推广: 空间几何的逻辑题，常用“墙角模型”或“折纸模型”寻找反例。

题目推广: 如果题目增加条件“ $a ⊥ m$ ”，则结论会变为“充分必要条件”。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

13.04 立体几何高阶：定理、模型与性质

02.01 常用逻辑用语 类题演练 (Links)

2013-山东卷理-07 单-充分必要条件判定

2013-浙江卷理-04 单-充分必要条件判定

2014-上海卷理-15 单-充分必要条件判定

∑ ( Math )

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2012-安徽卷理-06 单-立体几何

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