2012-安徽卷理-12 填-三视图表面积

本题导读

本题考查由三视图还原几何体，以及棱柱的表面积。

📌【题干】

Question

（2012年安徽卷(理)） 某几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 还原几何体：

• 观察俯视图：是一个直角梯形，上底为 2，下底为 5，高（垂直边）为 4。这通常是几何体的底面。
• 观察正视图与侧视图：均为矩形，且高度均为 4。这说明该几何体是一个以俯视图为底面的直四棱柱。

2. 确定边长：

• 底面梯形的四边长度分别为：$2,4,5$ 以及一条斜边。
• 斜边长度可通过勾股定理计算：$\sqrt{4^2+(5-2{)}^2}=\sqrt{16+9}=5$。

3. 计算面积：

• 底面积：计算两个完全相同的梯形面积。
• 侧面积：直四棱柱的侧面积等于底面周长乘以高。
• 总表面积：上下底面积 + 侧面积。

✅【答案】

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9

✍【详细解析】

Abstract

第一步：分析几何体结构 由三视图可知，该几何体是一个高为 $h=4$ 的直四棱柱，其底面是一个直角梯形。

第二步：计算底面梯形的参数 底面梯形的四边长分别为：

• 上底 $a=2$
• 高 $h_{base}=4$
• 下底 $b=5$
• 斜边 $c=\sqrt{4^2+(5-2{)}^2}=5$ 底面周长 $C=2+4+5+5=16$。 底面面积 $S_{base}=\frac{(2+5)\times 4}{2}=14$。

第三步：计算表面积

1. 两个底面的面积之和： $2\times S_{base}=2\times 14=28$
2. 侧面积： $S_{side}=C\times h=16\times 4=64$
3. 表面积总和： $S_{total}=28+64=92$

故答案为：92。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：三视图的“长对正、高平齐、宽相等”原则；直棱柱表面积公式。
2. 核心方法：空间还原法。俯视图通常决定了几何体的基本形状（底面），正侧视图决定了高度和侧面倾斜情况。
3. 易错点：计算底面周长时漏掉斜边。必须通过梯形的几何关系计算出隐藏的斜边长度，才能完整计算侧面积。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 结论推广: 对于底面周长为 $L$，底面积为 $S$，高为 $h$ 的直棱柱，表面积 $A=2S+Lh$。
2. 方法推广: 还原三视图时，若正、侧视图中包含三角形，则几何体通常为锥体或台体。
3. 题目推广: 若题目要求计算体积，则 $V=S_{base}\times h=14\times 4=56$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.04 立体几何高阶：定理、模型与性质 类题演练 (Links)

• 2013-新课标I卷理-08 单-由三视图还原几何体

• 2013-浙江卷理-12 填-三视图还原

• 2013-辽宁卷理-13 填-三视图还原