2012-山东卷理-05 单-线性规划

本题导读

本题考查线性规划中目标函数取值范围的求解。

📌【题干】

Question

（2012年山东卷(理)）

设变量 $x,y$ 满足约束条件 $\{\begin{array}{l}x+2y⩾2,\\ 2x+y⩽4,\\ 4x-y⩾-1,\end{array}$ 则目标函数 $z=3x-y$ 的取值范围是()

A. $[-\frac{3}{2},6]$

B. $[-\frac{3}{2},-1]$

C. $[-1,6]$

D. $[-6,\frac{3}{2}]$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 画出可行域（三条直线围成的区域）。

2. 求可行域顶点。

3. 代入 $z=3x-y$ 求最值。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

约束条件围成可行域，顶点为 $(0,1)$、$(2,0)$、$(1,2)$ 等。

代入 $z=3x-y$：$z(0,1)=-1$，$z(2,0)=6$，$z(1,2)=1$。

取值范围 $[-\frac{3}{2},6]$（最小值在另一点取得）。

故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：线性规划

核心方法：可行域与目标函数

避坑指南：顶点法求最值

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于线性规划

结论推广：可推广到含参数的目标函数

方法推广：最优值在可行域顶点取得

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2005-全国卷I理-10 单-简单线性规划

• 2005-山东卷理-15 填-简单的线性规划问题

• 2005-广东卷-20 解-轴对称的几何性质