2012-山东卷理-07 单-二倍角公式

本题导读

本题考查二倍角公式与同角三角函数关系的综合。

📌【题干】

Question

（2012年山东卷(理)）

若 $\theta \in [\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2}]$，$\sin 2\theta =\frac{3\sqrt{7}}{8}$，则 $\sin \theta =$()

A. $\frac{3}{5}$

B. $\frac{4}{5}$

C. $\frac{\sqrt{7}}{4}$

D. $\frac{3}{4}$

🔍【思路分析】

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1. 由 $\sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta$ 建立方程。

2. 结合 ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$ 解 $\sin \theta$。

3. 由 $\theta$ 范围确定符号。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

$\sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta =\frac{3\sqrt{7}}{8}$，设 $t=\sin \theta$，则 $\cos \theta =\sqrt{1-t^2}$。

$2t\sqrt{1-t^2}=\frac{3\sqrt{7}}{8}$，平方得 $4t^2(1-t^2)=\frac{63}{64}$。

解得 $t^2=\frac{9}{16}$（另一根 $\frac{7}{16}$ 不满足 $\theta \in [\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2}]$，即 $t^2⩾\frac{1}{2}$）。

故 $\sin \theta =\frac{3}{4}$，选 D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二倍角公式

核心方法：同角三角函数基本关系

避坑指南：角的范围与符号

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于三角恒等变换

结论推广：可推广到三倍角、和差公式

方法推广：注意 $\theta$ 范围对 $\sin \theta$ 取值的约束

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 10.02 倍角、降幂与升幂公式

类题演练 (Links)

• 2005-上海卷理-06 填-参数方程化普通方程

• 2005-全国卷I理-07 单-三角函数恒等变形

• 2005-全国卷I理-11 单-三角形内角和定理与诱导公式