2012-山东卷理-08 单-函数周期性

本题导读

本题考查函数的周期性与周期求和。

📌【题干】

Question

（2012年山东卷(理)）

定义在 $\mathbb{R}$ 的函数 $f(x)$ 满足 $f(x+6)=f(x)$.当 $-3⩽x<-1$ 时，$f(x)=-(x+2{)}^2$；当 $-1⩽x<3$ 时，$f(x)=x$.则 $f(1)+f(2)+\cdots +f(2012)=$()

A. $335$

B. $338$

C. $1678$

D. $2012$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由 $f(x+6)=f(x)$ 知周期 $6$。

2. 求一个周期内的和。

3. 利用周期性求和。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

周期 $6$，$f(1)=1,f(2)=2,f(3)=f(-3)=-1,f(4)=f(-2)=0,f(5)=f(-1)=-1,f(6)=f(0)=0$。

一个周期和 $=1+2-1+0-1+0=1$。

$2012=6\times 335+2$，前 $2012$ 项和 $=335\times 1+f(1)+f(2)=335+1+2=338$。

故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：函数的周期性

核心方法：周期数列求和

避坑指南：分段函数求值

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于函数周期性

结论推广：可推广到利用周期求任意项的和

方法推广：先定周期，再求一个周期内的和

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2005-全国卷II理-01 单-辅助角公式

• 2005-天津卷理-16 填-奇函数零点性质

• 2005-天津卷理-22 解-三角函数的周期性