2012-山东卷理-11 单-组合计数

本题导读

本题考查分类计数原理与组合数在限制条件下的应用。

📌【题干】

Question

（2012年山东卷(理)）

现有 $16$ 张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各 $4$ 张，从中任取 $3$ 张.要求这 $3$ 张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多 $1$ 张.不同的取法种数为()

A. $232$

B. $252$

C. $472$

D. $484$

🔍【思路分析】

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1. 总取法 ${\mathrm{C}}_{16}^3=560$。

2. 排除不合条件的（红色超 $1$ 张，或三张同色）。

3. 计算符合条件的取法。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

红色至少 $2$ 张：${\mathrm{C}}_4^2{\mathrm{C}}_{12}^1+{\mathrm{C}}_4^3=72+4=76$。

三张同色且非红：黄、蓝、绿各 ${\mathrm{C}}_4^3=4$，共 $12$。

符合 $=560-76-12=472$。

故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：组合计数

核心方法：分类加法原理

避坑指南：容斥思想

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于排列组合

结论推广：可推广到更多限制条件的计数

方法推广：先总数再排除不合条件的情况

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 2005-山东卷理-18 解-古典概型与组合计数

• 2006-上海卷理-09 填-排列与组合计数原理

• 2006-四川卷理-12 单-余数分组特性