2012-山东卷理-17 解-正弦型函数

本题导读

本题考查正弦型函数的解析式与图象变换，以及值域的求解。

📌【题干】

Question

（2012年山东卷(理)）

已知向量 $\mathbf{m}=(\sin x,1)$，$\mathbf{n}=(\sqrt{3}A\cos x,\frac{A}{2}\cos 2x)$（$A>0$），函数 $f(x)=\mathbf{m}\cdot \mathbf{n}$ 的最大值为 $6$.

(1) 求 $A$；

(2) 将函数 $y=f(x)$ 的图象向左平移 $\frac{\pi }{12}$ 个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的 $\frac{1}{2}$ 倍，纵坐标不变，得到函数 $y=g(x)$ 的图象，求 $g(x)$ 在 $[0,\frac{5\pi }{24}]$ 上的值域.

🔍【思路分析】

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1. 由向量点积化简 $f(x)$ 为 $A\sin (2x+\frac{\pi }{6})$。

2. 由最大值 $6$ 得 $A=6$。

3. 经图象变换求 $g(x)$ 及值域。

✅【答案】

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(1) $A=6$

(2) 值域为 $[3,6]$

✍【详细解析】

Abstract

$f(x)=\sqrt{3}A\sin x\cos x+\frac{A}{2}\cos 2x=\frac{\sqrt{3}}{2}A\sin 2x+\frac{A}{2}\cos 2x=A\sin (2x+\frac{\pi }{6})$。

最大值 $A=6$。

左移 $\frac{\pi }{12}$：$6\sin (2x+\frac{\pi }{3})$；横坐标缩短 $\frac{1}{2}$：$g(x)=6\sin (4x+\frac{\pi }{3})$。

$x\in [0,\frac{5\pi }{24}]$，$4x+\frac{\pi }{3}\in [\frac{\pi }{3},\frac{5\pi }{6}]$，$\sin \in [\frac{1}{2},1]$，值域 $[3,6]$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正弦型函数

核心方法：图象变换

避坑指南：值域求解

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于三角函数的图象与性质

结论推广：可推广到一般的图象平移伸缩

方法推广：左加右减、横坐标伸缩改变周期

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 2005-全国卷I理-11 单-三角形内角和定理与诱导公式

• 2005-全国卷II理-07 单-三角两角和与差的余弦公式

• 2005-全国卷III理-07 单-二倍角正弦公式与