2012-山东卷理-19 解-分布列与期望

本题导读

本题考查独立事件的概率与分布列、期望的计算。

📌【题干】

Question

（2012年山东卷(理)）

现有甲乙两个靶，某射手向甲靶射击一次命中的概率为 $\frac{3}{4}$，命中得 $1$ 分，没有命中得 $0$ 分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为 $\frac{2}{3}$，每命中一次得 $2$ 分，没有命中得 $0$ 分.该射手每次射击的结果相互独立，假设该射手完成以上三次射击.

(1) 求该射手恰好命中一次的概率；

(2) 求该射手的总得分 $X$ 的分布列及数学期望 $EX$.

🔍【思路分析】

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1. 甲靶命中概率 $\frac{3}{4}$，乙靶两次命中概率各 $\frac{2}{3}$。

2. 求恰好命中一次的概率。

3. 求总得分 $X$ 的分布列与期望。

✅【答案】

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(1) $\frac{7}{36}$

(2) 分布列 $P(X=0)=\frac{1}{36}$，$P(X=1)=\frac{1}{6}$，$P(X=2)=\frac{1}{9}$，$P(X=3)=\frac{1}{3}$，$P(X=4)=\frac{4}{9}$，$E(X)=\frac{41}{12}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 恰好命中一次：甲中乙全不中，或甲不中乙恰中一次。

$P=\frac{3}{4}\times \frac{1}{3}\times \frac{1}{3}+\frac{1}{4}\times 2\times \frac{2}{3}\times \frac{1}{3}=\frac{1}{12}+\frac{1}{9}=\frac{7}{36}$。

(2) $X$ 取值 $0,1,2,3,4$，由独立事件计算各概率，$E(X)=\frac{41}{12}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：相互独立事件

核心方法：分布列与数学期望

避坑指南：分类计算

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于概率统计中的分布列与期望

结论推广：可推广到多阶段独立试验

方法推广：独立事件概率相乘

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 23.03 离散型随机变量及其数字特征

类题演练 (Links)

• 2005-上海卷理-08 填-古典概型

• 2005-全国卷I理-20 解-相互独立事件的概率

• 2005-全国卷II理-19 解-离散型随机变量的概率分布