2012-山东卷理-20 解-等差数列

本题导读

本题考查等差数列的通项公式，以及区间内项数的计数。

📌【题干】

Question

（2012年山东卷(理)）

在等差数列 $\{a_n\}$ 中，$a_3+a_4+a_5=84$，$a_9=73$.

(1) 求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式；

(2) 对任意 $m\in {\mathbb{N}}^{\ast }$，将数列 $\{a_n\}$ 中落入区间 $(9^m,9^{2m})$ 内的项的个数记为 $b_m$，求数列 $\{b_m\}$ 的前 $m$ 项和 $S_m$.

🔍【思路分析】

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1. 由 $a_3+a_4+a_5=84$ 与 $a_9=73$ 求首项公差。

2. 求通项 $a_n$。

3. 由区间 $(9^m,9^{2m})$ 求 $b_m$ 并求和。

✅【答案】

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(1) $a_n=9n-8$

(2) $S_m=\frac{9^{2m+1}-9^{m+1}+8m}{8}$

✍【详细解析】

Abstract

$a_3+a_4+a_5=3a_4=84\Rightarrow a_4=28$，$a_9=73$，公差 $d=\frac{73-28}{5}=9$。

$a_4=a_1+3d\Rightarrow a_1=1$，通项 $a_n=1+9(n-1)=9n-8$。

$9^m<9n-8<9^{2m}$，解得 $n$ 的范围，计数得 $b_m=9^{2m-1}-9^{m-1}$，

$S_m=\frac{9^{2m+1}-9^{m+1}+8m}{8}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等差数列的通项

核心方法：区间项数计数

避坑指南：等比数列求和

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于等差数列与计数

结论推广：可推广到落入其他区间的项数

方法推广：等差通项 $a_n=a_1+(n-1)d$

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结

• 19.04 数列求和核心方法与裂项模型

类题演练 (Links)

• 2002-新课标理-22 解-数列的递推关系

• 2005-全国卷II理-11 单-等差数列的通项性质

• 2005-全国卷III理-20 解-等差数列的通项与等比中项