2012-山东卷理-21 解-抛物线与圆

本题导读

本题考查抛物线的方程与直线、圆的综合，以及最值的求解。

📌【题干】

Question

（2012年山东卷(理)）

在平面直角坐标系 $xOy$ 中，$F$ 是抛物线 $C:x^2=2py$（$p>0$）的焦点，$M$ 是抛物线 $C$ 上位于第一象限内的任意一点，过 $M,F,O$ 三点的圆的圆心为 $Q$，点 $Q$ 到抛物线 $C$ 的准线的距离为 $\frac{3}{4}$.

(1) 求抛物线 $C$ 的方程；

(2) 是否存在点 $M$，使得直线 $MQ$ 与抛物线 $C$ 相切于点 $M$？若存在，求出点 $M$ 的坐标；若不存在，说明理由；

(3) 若点 $M$ 的横坐标为 $\sqrt{2}$，直线 $l:y=kx+\frac{1}{4}$ 与抛物线 $C$ 有两个不同的交点 $A,B$，$l$ 与圆 $Q$ 有两个不同的交点 $D,E$，求当 $\frac{1}{2}⩽k⩽2$ 时，$|AB{|}^2+|DE{|}^2$ 的最小值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由点 $Q$ 到准线距离求 $p$。

2. 判断 $MQ$ 与抛物线相切的条件。

3. 联立直线与抛物线、圆，求 $|AB{|}^2+|DE{|}^2$ 的最小值。

✅【答案】

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(1) $x^2=2y$

(2) 存在，$M(2,2)$

(3) 最小值为 $\frac{57}{8}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 由过 $M,F,O$ 的圆圆心 $Q$ 到准线 $y=-\frac{p}{2}$ 距离 $\frac{3}{4}$，得 $p=1$，抛物线 $x^2=2y$。

(2) 存在点 $M(2,2)$ 使 $MQ$ 与抛物线相切。

(3) 联立求 $|AB{|}^2$ 与 $|DE{|}^2$，$k\in [\frac{1}{2},2]$ 时最小值为 $\frac{57}{8}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：抛物线的方程

核心方法：直线与圆锥曲线

避坑指南：最值问题

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于抛物线综合问题

结论推广：可推广到直线与抛物线的位置关系

方法推广：联立方程+韦达定理是核心

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结

• 17.05 直线与圆的位置关系

类题演练 (Links)

• 2005-浙江卷理-17 解-椭圆的标准方程与准线性质

• 2005-湖北卷理-21 解-双曲线的标准方程与几何性质

• 2005-重庆卷理-21 解-椭圆与双曲线的