2012-山东卷理-22 解-导数与切线

本题导读

本题考查导数的几何意义、函数的单调性，以及不等式的证明。

📌【题干】

Question

（2012年山东卷(理)）

已知函数 $f(x)=\frac{\ln x+k}{e^x}$（$k$ 为常数，$e=2.71828\cdots$ 是自然对数的底数），曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1,f(1))$ 处的切线与 $x$ 轴平行.

(1) 求 $k$ 的值；

(2) 求 $f(x)$ 的单调区间；

(3) 设 $g(x)=(x^2+x)f^{\prime }(x)$，其中 $f^{\prime }(x)$ 为 $f(x)$ 的导函数.证明：对任意 $x>0$，$g(x)<1+e^{-2}$.

🔍【思路分析】

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1. 由切线与 $x$ 轴平行得 $f^{\prime }(1)=0$，求 $k$。

2. 求导分析单调区间。

3. 构造函数证明不等式。

✅【答案】

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(1) $k=1$

(2) $f(x)$ 在 $(0,1)$ 上单调递增，在 $(1,+\infty )$ 上单调递减

(3) 证明见解析

✍【详细解析】

Abstract

(1) $f^{\prime }(x)=\frac{\frac{1}{x}-(\ln x+k)}{e^x}$，$f^{\prime }(1)=\frac{1-k}{e}=0\Rightarrow k=1$。

(2) $f^{\prime }(x)=\frac{\frac{1}{x}-\ln x-1}{e^x}$，由 $\frac{1}{x}-\ln x-1$ 的符号得 $f$ 在 $(0,1)$ 增、$(1,+\infty )$ 减。

(3) $g(x)=(x^2+x)f^{\prime }(x)$，证明 $g(x)<1+e^{-2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：导数的几何意义

核心方法：函数的单调性

避坑指南：不等式证明

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于导数综合

结论推广：可推广到含参函数的单调性与最值

方法推广：切线斜率=$f^{\prime }(x_0)$

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2002-新课标理-20 解-导数的几何意义

• 2005-上海卷理-13 单-指数函数的单调性与值域

• 2005-全国卷I理-09 单-对数不等式的解法