2012-广东卷文-21 解-含参集合与极值点

本题导读

本题考查含参一元二次不等式。

📌【题干】

Question

（2012年广东卷(文)） 设 $0<a<1$，集合 $A=\{x\in \mathbf{R}\mid x>0\}$，$B=\{x\in \mathbf{R}\mid 2x^2-3(1+a)x+6a>0\}$，$D=A\cap B$.

(1)求集合 $D$（用区间表示）；

(2)求函数 $f(x)=2x^3-3(1+a)x^2+6ax$ 在 $D$ 内的极值点.

🔍【思路分析】

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$\Delta =3(3a-1)(a-3)$：$a⩾\frac{1}{3}$ 时 $D=(0,+\infty )$（$a=\frac{1}{3}$ 去掉 $1$），$0<a<\frac{1}{3}$ 时 $D=(0,x_1)\cup (x_2,+\infty )$；极值点 $a$ 总在 $D$ 内，$1$ 仅当 $a>\frac{1}{3}$ 时在 $D$ 内。

✅【答案】

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(1)当 $\frac{1}{3}⩽a<1$ 时，$D=(0,+\infty )$，其中 $a=\frac{1}{3}$ 时 $D=(0,1)\cup (1,+\infty )$；当 $0<a<\frac{1}{3}$ 时，$D=(0,x_1)\cup (x_2,+\infty )$，其中 $x_1=\frac{3(1+a)-\sqrt{3(a-3)(3a-1)}}{4}$，$x_2=\frac{3(1+a)+\sqrt{3(a-3)(3a-1)}}{4}$ (2)当 $0<a⩽\frac{1}{3}$ 时，极值点为 $x=a$；当 $\frac{1}{3}<a<1$ 时，极值点为 $x=a$ 和 $x=1$

✍【详细解析】

Abstract

（1）二次方程 $2x^2-3(1+a)x+6a=0$ 的判别式

$\Delta =9(1+a{)}^2-48a=9a^2-30a+9=3(3a-1)(a-3)$.

由 $0<a<1$ 知 $a-3<0$。

当 $\frac{1}{3}⩽a<1$ 时，$\Delta ⩽0$，二次函数开口向上恒非负：$a>\frac{1}{3}$ 时 $2x^2-3(1+a)x+6a>0$ 对一切 $x$ 成立，$B=\mathbf{R}$，$D=(0,+\infty )$；$a=\frac{1}{3}$ 时原式 $=2{\left(x-1\right)}^2>0$ 仅在 $x\ne 1$ 时成立，$D=(0,1)\cup (1,+\infty )$。

当 $0<a<\frac{1}{3}$ 时，$\Delta >0$，两根为 $x_{1,2}=\frac{3(1+a)\mp \sqrt{3(3a-1)(a-3)}}{4}$。两根之积 $x_1{x}_2=3a>0$、之和 $x_1+x_2=\frac{3(1+a)}{2}>0$，故 $0<x_1<x_2$，原不等式的解集为 $(-\infty ,x_1)\cup (x_2,+\infty )$，从而

$D=(0,x_1)\cup (x_2,+\infty )$，其中 $x_1=\frac{3(1+a)-\sqrt{3(a-3)(3a-1)}}{4}$，$x_2=\frac{3(1+a)+\sqrt{3(a-3)(3a-1)}}{4}$.

（2）$f^{\prime }(x)=6x^2-6(1+a)x+6a=6(x-1)(x-a)$。由 $0<a<1$，$f$ 在 $(0,a)$ 递增、$(a,1)$ 递减、$(1,+\infty )$ 递增，故 $x=a$ 是极大值点、$x=1$ 是极小值点（只要它们在 $D$ 内）。

当 $0<a<\frac{1}{3}$ 时：$x_1>a$（由 $3-a>3(1-3a)$ 平方可验证），故 $a\in (0,x_1)\subset D$；$x_1<1<x_2$（$x_1<1$ 由 $3a-1<0<\sqrt{3(1-3a)(3-a)}$；$x_2>1$ 由 $(1-3a)\left[3(3-a)-(1-3a)\right]=8(1-3a)>0$），故 $1\notin D$。此时极值点只有 $x=a$。$a=\frac{1}{3}$ 时 $D=(0,1)\cup (1,+\infty )$ 仍不含 $1$，极值点为 $x=a=\frac{1}{3}$。

当 $\frac{1}{3}<a<1$ 时，$D=(0,+\infty )$，$a$ 与 $1$ 都在 $D$ 内，极值点为 $x=a$ 和 $x=1$。

综上：$0<a⩽\frac{1}{3}$ 时极值点为 $x=a$；$\frac{1}{3}<a<1$ 时极值点为 $x=a$ 和 $x=1$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：含参二次不等式的判别式分类；交集运算；导数定极值点并结合定义域筛选

核心方法：先按 $\Delta$（借 $0<a<1$ 定 $a-3$ 的符号）三分讨论 $B$；极值点求出后逐一检查是否属于 $D$

避坑指南：$a=\frac{1}{3}$ 时重根 $x=1$ 恰从 $D$ 中挖掉，于是 $a⩽\frac{1}{3}$ 与 $a>\frac{1}{3}$ 两类的极值点个数不同——最容易漏掉这个”边界合并”；两根表达式里的 $3(3a-1)(a-3)$ 在 $a<\frac{1}{3}$ 时为正（两个负因子相乘），根号下别写成负数。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：含参不等式与导数极值综合压轴题，与 2013 年新课标Ⅰ文第 20 题、2013 年新课标Ⅱ文第 21 题同族。

结论推广：$\Delta =9a^2-30a+9$ 在 $0<a<1$ 内恰有一个零点 $a=\frac{1}{3}$，这是分类的天然分界；三次函数 $2x^3-3(1+a)x^2+6ax$ 的两极值点 $a,1$ 与不等式的参数同源。

方法推广：“极值点必须在定义域内”是此类题的筛选环节：先用导数求出候选极值点，再逐个对照第（1）问的集合 $D$，注意端点参数值的归属。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 03.01 不等式解法体系
• 01.01集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 2013-新课标I卷文-20 解-导数单调性与极值
• 2013-新课标II卷文-21 解-导数极值与切线截距
• 2014-天津卷理-20 解-导数的综合应用与单调性