2012-广东卷理-04 单-函数奇偶性

本题导读

本题考查函数的单调性与导数，以及常见基本初等函数的单调性。

📌【题干】

Question

（2012年广东卷(理)） 下列函数中，在区间 $(0,+\infty )$ 上为增函数的是()

A. $y=\ln (x+2)$　B. $y=-\sqrt{x+1}$　C. $y={\left(\frac{1}{2}\right)}^x$　D. $y=x+\frac{1}{x}$

🔍【思路分析】

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1. 因为需要寻找在 $(0,+\infty )$ 上严格单调递增的函数，所以应对四个选项的初等性质逐一进行单调区间复核。
2. 因为 A、B、C 均为标准的基本初等函数（或其平移复合变换），可直接由底数范围或复合函数“同增异减”法则判定。
3. 因为 D 选项为经典的对勾函数，其在 $(0,1)$ 和 $(1,+\infty )$ 上的单调性不同，需要特别注意拐点的位置。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

因为 对四个选项函数的单调性进行逐一讨论：

• 对于 A 选项： $y=\ln (x+2)$ 因为 内层函数 $u=x+2$ 在 $(0,+\infty )$ 上为增函数，外层自然对数函数 $y=\ln u$ 在定义域内为增函数， 所以 根据复合函数“同增异减”的单调性法则， $y=\ln (x+2)$ 在 $(0,+\infty )$ 上为增函数。

• 对于 B 选项： $y=-\sqrt{x+1}$ 因为 内层函数 $u=x+1$ 在 $(0,+\infty )$ 上为增函数，算术根式外层 $y=\sqrt{u}$ 为增函数， 所以 复合后 $y=\sqrt{x+1}$ 为增函数。由于前面带有负号， 所以 $y=-\sqrt{x+1}$ 在 $(0,+\infty )$ 上为减函数。

• 对于 C 选项： $y={\left(\frac{1}{2}\right)}^x$ 因为 该函数是一个指数函数，其底数满足 $0<\frac{1}{2}<1$， 所以 根据指数函数的单调性性质，该函数在实数集 $\mathbb{R}$ 上恒为减函数，在 $(0,+\infty )$ 上同样为减函数。

• 对于 D 选项： $y=x+\frac{1}{x}$ 因为 该函数为标准的对勾函数模型， 所以 根据其图象与单调性特征，该函数在 $(0,1)$ 上单调递减，在 $(1,+\infty )$ 上单调递增。在整个 $(0,+\infty )$ 上不单调。

综上所述，只有 A 选项符合题意。

故选：(A)。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：基本初等函数的单调区间锁定、对勾函数的特征拐点。
2. 核心方法：复合函数单调性“同增异减”判定法、特殊函数性质法。
3. 避坑指南：

• 因为对勾函数 $y=x+\frac{1}{x}$ 含有增区间 $(1,+\infty )$，部分考生容易因概念模糊误认为其在 $(0,+\infty )$ 上全为增函数。牢记对勾函数的极值拐点在 $x=\sqrt{\frac{b}{a}}=1$ 处。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于人教A版高中数学必修第一册第四章《指数函数与对数函数》中关于函数单调性基础应用的概念辨析选择题。
2. 结论推广：对于对勾函数模型 $y=ax+\frac{b}{x}(a>0,b>0)$，其单调递减区间为 $(0,\sqrt{\frac{b}{a}})$，单调递增区间为 $(\sqrt{\frac{b}{a}},+\infty )$。只有当区间的左端点大于或等于 $\sqrt{\frac{b}{a}}$ 时，该函数才能在对应区间上表现为纯粹的增函数。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念 类题演练 (Links)

• 1987-全国卷理-05 单-函数的单调性

• 1991-全国卷理-13

• 1992-全国卷理-16