2012-广东卷理-05 单-线性规划

本题导读

本题考查简单线性规划，以及平面区域的确定。

📌【题干】

Question

（2012年广东卷(理)） 已知变量 $x,y$ 满足约束条件 $\{\begin{array}{l}y\le 2\\ x+y\ge 1\\ x-y\le 1\end{array}$，则 $z=3x+y$ 的最大值为()

A. 12　　　　　　　B. 11　　　　　　　C. 3　　　　　　　D. -1

🔍【思路分析】

破题导航

1. 因为已知不等式约束条件，所以首先在平面直角坐标系中绘制出各条边界直线，并根据不等号的方向确定其围成的公共可行域区域。
2. 因为目标函数为 $z=3x+y$，转化为斜截式为 $y=-3x+z$，其几何意义为一族斜率为 $-3$、纵截距为 $z$ 的平行直线，所以要使 $z$ 最大，只需让直线的纵截距最大。
3. 因为可行域是一个凸多边形区域，最值必然在边界顶点处取得，所以可以通过平移直线或直接联立方程组求出可行域的顶点坐标，代入比较大小即可。

✅【答案】

点击查看答案

B

✍【详细解析】

Abstract

因为 约束条件为 $\{\begin{array}{l}y\le 2\\ x+y\ge 1\\ x-y\le 1\end{array}$， 所以 我们首先通过两两联立边界直线方程，求解出可行域各顶点的精确直角坐标：

• 联立 $\{\begin{array}{l}y=2\\ x+y=1\end{array}⟹\{\begin{array}{l}x=-1\\ y=2\end{array}$，得到顶点 $A(-1,2)$；
• 联立 $\{\begin{array}{l}y=2\\ x-y=1\end{array}⟹\{\begin{array}{l}x=3\\ y=2\end{array}$，得到顶点 $B(3,2)$；
• 联立 $\{\begin{array}{l}x+y=1\\ x-y=1\end{array}⟹\{\begin{array}{l}x=1\\ y=0\end{array}$，得到顶点 $C(1,0)$。

这三个顶点围成了一个封闭的三角形阴影区域（可行域）。

因为 目标函数为 $z=3x+y$，将其变形为斜截式方程： $y=-3x+z$

因为 该直线的斜率为 $-3$ 为定值，且当目标函数值 $z$ 增大时，直线往右上方平行移动，其纵截距随之增大， 所以 观察可行域图形可知，当直线平行移动经过三角形右上方顶点 $B(3,2)$ 时，纵截距 $z$ 达到最大值。

将顶点 $B(3,2)$ 的坐标代入目标函数中： $z_{\text{max}}=3\times 3+2=9+2=11$

故选：(B)。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二元一次不等式组围成的可行域面积确定、线性目标函数几何意义（截距）的转化。
2. 核心方法：数形结合图解法、顶点代入法（对有界封闭可行域极为高效）。
3. 避坑指南：

• 因为在画直线 $x-y=1$ 的不等式区域时极易混淆方向，所以一定要注意 $-y$ 符号的影响，或者采用“零点代入法”（将 $(0,0)$ 代入得 $0\le 1$ 成立，说明包含原点侧）进行区域方向微观核对。
• 因为本题的可行域是封闭的有界多边形，所以最大值、最小值必然在顶点处产生。在无法精确画出目标函数斜率时，最稳妥的策略是将 $A,B,C$ 三个顶点的坐标全算出来，分别代入 $z_A=-1,z_B=11,z_C=3$ 进行标量大小比较。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于人教A版高中数学选择性必修第二册以及老教材必修5第三章《不等式》中关于简单线性规划的标准常规高考真题。
2. 结论推广：对于目标函数 $z=ax+dy(d>0)$，其最优解的位置严格受到斜率 $k=-\frac{a}{d}$ 的控制。若可行域为封闭多边形，最大值必在线面截距的最大交界点处收敛。熟练掌握“画、移、求、答”的流水线步骤，可稳定攻克所有一阶线性规划问题。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值 类题演练 (Links)

• 2006-全国卷I理-14 填-目标函数的最值求解

• 2007-湖北卷理-13 填-目标函数最值

• 2010-大纲卷II理-03 单-线性规划