2012-广东卷理-06 单-三视图直观图

本题导读

本题考查空间几何体的三视图与直观图，以及圆锥、圆柱的体积公式。

📌【题干】

Question

（2012年广东卷(理)） 某几何体的三视图如图所示，则它的体积为()

A. $12\pi$　　　　　　　B. $45\pi$　　　　　　　C. $57\pi$　　　　　　　D. $81\pi$

🔍【思路分析】

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1. 因为俯视图为一个带有圆心的圆，且正视图与侧视图下半部分为矩形、上半部分为三角形，所以该几何体是由一个下部的圆柱和一个上部的圆锥组合而成的空间复合物。
2. 因为正、侧视图底边长均为 6，所以底面圆的直径为 6，底面半径 $R=3$。
3. 因为下半部分矩形的高为 5，所以圆柱的高 $h_1=5$；上半部分圆锥的母线长为 5，底面半径为 3，利用勾股定理可求出圆锥的高 $h_2$。分别代入两者的体积公式相加。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

因为 俯视图是一个带有中心点的圆，且正视图与侧视图在轴向投影上完全一致（下部为矩形，上部为等腰三角形）， 所以 逆推其直观图可知，该几何体是一个组合体：下部为一个圆柱，上部为一个同轴共底面的圆锥。

因为 正视图和侧视图显示的底边宽度均为 $6$， 所以 该组合体的共同底面圆的直径为 $6$，底面半径满足： $R=\frac{6}{2}=3$

因为 正视图和侧视图中下半部分矩形的高度为 $5$， 所以 下部圆柱的高满足 $h_1=5$。根据圆柱的体积公式： $V_{\text{圆柱}}=\pi R^2{h}_1=\pi \times 3^2\times 5=45\pi$

因为 正视图和侧视图中上半部分等腰三角形的腰长（即圆锥的母线长）为 $l=5$，且圆锥底面半径 $R=3$， 所以 根据勾股定理，圆锥的高 $h_2$ 满足： $h_2=\sqrt{l^2-R^2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4$

根据圆锥的体积公式： $V_{\text{圆锥}}=\frac{1}{3}\pi R^2{h}_2=\frac{1}{3}\times \pi \times 3^2\times 4=12\pi$

因为 该几何体的总体积 $V$ 是圆柱与圆锥体积的代数和， 开算满足： $V=V_{\text{圆柱}}+V_{\text{圆锥}}=45\pi +12\pi =57\pi$

故选：(C)。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：由三视图还原旋转体组合体、圆锥与圆柱基本体积公式。
2. 核心方法：组合体体积分割法（上下拆分法）。
3. 避坑指南：

• 因为正视图上半部分给出的数据 $5$ 是三角形的腰长（即圆锥的母线长），部分考生容易忙中出错，直接将 $5$ 当作圆锥的高代入计算。务必利用勾股定理进行“半径、高、母线”的黄金直角三角形转化。
• 因为圆锥体积公式中含有系数 $\frac{1}{3}$，计算时切勿漏掉此系数。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于人教A版高中数学必修第二册第八章《立体几何初步》中关于空间几何体三视图与体积计算的常规经典高考真题，常用于考查基础的识图与空间想象能力。
2. 结论推广：对于任意由同底共轴的圆柱（高为 $h_1$ ）与圆锥（母线为 $l$ ）构成的“蒙古包”型组合体模型，当底面半径为 $R$ 时，其体积通式恒满足： $V=\pi R^2\left(h_1+\frac{1}{3}\sqrt{l^2-R^2}\right)$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积 类题演练 (Links)

• 2014-湖北卷理-08 单-体积公式

• 2013-广东卷文-06 单-三视图体积

• 2014-天津卷文-10 填-三视图体积