2012-广东卷理-08 单-向量新定义

本题导读

本题考查平面向量的数量积定义，以及向量模长与夹角的关系。

📌【题干】

Question

（2012年广东卷(理)） 对任意两个非零的平面向量 $\mathbf{\alpha }$ 和 $\mathbf{\beta }$，定义 $\mathbf{\alpha }\circ \mathbf{\beta }=\frac{\mathbf{\alpha }\cdot \mathbf{\beta }}{\mathbf{\beta }\cdot \mathbf{\beta }}$. 若平面向量 $\mathbf{a},\mathbf{b}$ 满足 $|\mathbf{a}|\ge |\mathbf{b}|>0$， $\mathbf{a}$ 与 $\mathbf{b}$ 的夹角 $\theta \in \left(0,\frac{\pi }{4}\right)$，且 $\mathbf{a}\circ \mathbf{b}$ 和 $\mathbf{b}\circ \mathbf{a}$ 都在集合 $\left\{\frac{n}{2}\mid n\in \mathbf{Z}\right\}$ 中，则 $\mathbf{a}\circ \mathbf{b}=$()

A. $\frac{1}{2}$　　　　　　　B. 1　　　　　　　C. $\frac{3}{2}$　　　　　　　D. $\frac{5}{2}$

🔍【思路分析】

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1. 因为已知新定义 $\mathbf{\alpha }\circ \mathbf{\beta }=\frac{\mathbf{\alpha }\cdot \mathbf{\beta }}{|\mathbf{\beta }{|}^2}$，所以可将条件中的 $\mathbf{a}\circ \mathbf{b}$ 和 $\mathbf{b}\circ \mathbf{a}$ 顺次展开为： $\mathbf{a}\circ \mathbf{b}=\frac{|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos \theta }{|\mathbf{b}{|}^2}=\frac{|\mathbf{a}|}{|\mathbf{b}|}\cos \theta ,\mathbf{b}\circ \mathbf{a}=\frac{|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos \theta }{|\mathbf{a}{|}^2}=\frac{|\mathbf{b}|}{|\mathbf{a}|}\cos \theta$
2. 因为两式均含有边长比值，所以可以考虑将两式相乘消去 $\frac{|\mathbf{a}|}{|\mathbf{b}|}$，得到： $(\mathbf{a}\circ \mathbf{b})\cdot (\mathbf{b}\circ \mathbf{a})={\cos }^2\theta$
3. 因为已知 $\theta \in \left(0,\frac{\pi }{4}\right)$，所以可知 ${\cos }^2\theta \in \left(\frac{1}{2},1\right)$。结合两个式子都属于集合 $\left\{\frac{n}{2}\mid n\in \mathbf{Z}\right\}$ 且 $|\mathbf{a}|\ge |\mathbf{b}|$ 的大小有界约束，可通过整数列举锁定取值。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

因为 依据新定义运算公式，且 $\mathbf{\alpha }\cdot \mathbf{\beta }=|\mathbf{\alpha }||\mathbf{\beta }|\cos \theta$， $\mathbf{\beta }\cdot \mathbf{\beta }=|\mathbf{\beta }{|}^2$， 所以 将 $\mathbf{a}\circ \mathbf{b}$ 和 $\mathbf{b}\circ \mathbf{a}$ 分别代入进行代数化简： $\mathbf{a}\circ \mathbf{b}=\frac{\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}}{\mathbf{b}\cdot \mathbf{b}}=\frac{|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos \theta }{|\mathbf{b}{|}^2}=\frac{|\mathbf{a}|}{|\mathbf{b}|}\cos \theta \text{(1)}$ $\mathbf{b}\circ \mathbf{a}=\frac{\mathbf{b}\cdot \mathbf{a}}{\mathbf{a}\cdot \mathbf{a}}=\frac{|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos \theta }{|\mathbf{a}{|}^2}=\frac{|\mathbf{b}|}{|\mathbf{a}|}\cos \theta \text{(2)}$

因为 将①式与②式进行代数相乘，可以完美抵消模长比值 $\frac{|\mathbf{a}|}{|\mathbf{b}|}$： $(\mathbf{a}\circ \mathbf{b})\cdot (\mathbf{b}\circ \mathbf{a})=\left(\frac{|\mathbf{a}|}{|\mathbf{b}|}\cos \theta \right)\cdot \left(\frac{|\mathbf{b}|}{|\mathbf{a}|}\cos \theta \right)={\cos }^2\theta \text{(3)}$

因为 已知两向量的夹角满足 $\theta \in \left(0,\frac{\pi }{4}\right)$， 所以 余弦值的范围为 $\cos \theta \in \left(\frac{\sqrt{2}}{2},1\right)$，平方后的取值有界性满足： ${\cos }^2\theta \in \left(\frac{1}{2},1\right)\text{(4)}$

因为 已知 $|\mathbf{a}|\ge |\mathbf{b}|>0$ 且 $\cos \theta >0$，代入①式和②式可以判定两个基本量的大小关系： $\mathbf{a}\circ \mathbf{b}=\frac{|\mathbf{a}|}{|\mathbf{b}|}\cos \theta \ge \frac{|\mathbf{b}|}{|\mathbf{a}|}\cos \theta =\mathbf{b}\circ \mathbf{a}>0$ 即满足 $\mathbf{a}\circ \mathbf{b}\ge \mathbf{b}\circ \mathbf{a}>0$。

因为 题目已知 $\mathbf{a}\circ \mathbf{b}$ 和 $\mathbf{b}\circ \mathbf{a}$ 都在集合 $\left\{\frac{n}{2}\mid n\in \mathbf{Z}\right\}$ 中， 所以 设 $\mathbf{a}\circ \mathbf{b}=\frac{n_1}{2}$， $\mathbf{b}\circ \mathbf{a}=\frac{n_2}{2}$，其中 $n_1,n_2$ 均为正整数，且满足 $n_1\ge n_2\ge 1$。

将设代入③式并结合④式的范围约束： $\frac{n_1}{2}\times \frac{n_2}{2}={\cos }^2\theta ⟹\frac{n_1{n}_2}{4}\in \left(\frac{1}{2},1\right)$ 两边同时乘以 4，得到关于正整数乘积的卡位不等式： $2<n_1{n}_2<4$

因为 $n_1,n_2$ 严格为正整数，在区间 $(2,4)$ 内部仅存在唯一的正整数 3， 所以 两正整数的乘积只能刚性收敛为： $n_1{n}_2=3$

因为 满足 $n_1\ge n_2$ 的正整数解有且仅有一组： $\{\begin{array}{l}{n}_1=3\\ n_2=1\end{array}$

将求得的整数 $n_1=3$ 反代回目标项 $\mathbf{a}\circ \mathbf{b}$ 的代数设中： $\mathbf{a}\circ \mathbf{b}=\frac{n_1}{2}=\frac{3}{2}$

故选：(C)。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：平面向量数量积的坐标与模长展开、乘积消元思维的应用、离散集合整数点的不等式卡位。
2. 核心方法：对偶相乘消元法。处理新定义中互为转置对偶符号的乘积式（如本题中的 $\mathbf{\alpha }\circ \mathbf{\beta }$ 与 $\mathbf{\beta }\circ \mathbf{\alpha }$ ），通过两式相乘可以瞬间使边长比例项完全消除，从而将多元高维问题降维压缩成纯单体角度的最值放缩问题。
3. 避坑指南：

• 因为在化简时极易因字母顺序混乱而将两个新定义表达式写反，必须看清分母是 $\mathbf{\beta }\cdot \mathbf{\beta }$ 代表分母由后面的向量模长所控制。
• 临界值处的开闭区间需要注意。因为 $\theta \in \left(0,\frac{\pi }{4}\right)$ 为开区间，所以 $2<n_1{n}_2<4$ 同样为严格开区间，从而可以直接排除端点 2 和 4，锁定唯一的整数 3。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于人教A版高中数学必修第二册第六章《平面向量及其应用》中关于数量积几何意义的拔高拓展题。其深层高等数学背景依托于线性代数中的“齐次斜投影算子（Oblique Projection Operator）”与欧几里得空间中的施密特（Schmidt）正交化投影分量公式。
2. 结论推广：在任意实内积空间中，运算 $\mathbf{\alpha }\circ \mathbf{\beta }$ 几何上代表着向量 $\mathbf{\alpha }$ 在 $\mathbf{\beta }$ 方向上的正交投影长度与 $\mathbf{\beta }$ 自身长度的比值。由该投影对偶性可以推导出通用的投影乘积余弦守恒定理：对于任意非零向量，两对偶新定义运算法则的连乘积与两向量的几何倾角满足恒定的纯三角约束： $(\mathbf{a}\circ \mathbf{b})\cdot (\mathbf{b}\circ \mathbf{a})\equiv {\cos }^2\theta$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.01 平面向量基本概念

• 03.01 不等式解法体系 类题演练 (Links)

• 2008-江苏卷-05 填-向量模长夹角

• 2008-浙江卷文-16 填-向量模长范围

• 2008-湖北卷文-01 单-向量数量积坐标运算