2012-广东卷理-12 填-导数

本题导读

本题考查导数的几何意义，以及导数的运算法则。

📌【题干】

Question

（2012年广东卷(理)）

曲线 $y=x^3-x+3$ 在点 $(1,3)$ 处的切线方程为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 因为已知切点为 $(1,3)$，所以切线的斜率 $k$ 等于函数在 $x=1$ 处的导数值 $y^{\prime }{|}_{x=1}$。

2. 因为原函数为多项式函数，所以利用导数公式和运算法则求出一阶导函数 $y^{\prime }$，并将 $x=1$ 代入求出斜率 $k$。

3. 因为已知切线的斜率和切点坐标，所以利用直线的点斜式方程进行写出并化简为一般式。

✅【答案】

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$2x-y+1=0$

✍【详细解析】

Abstract

因为 已知曲线方程为 $y=x^3-x+3$，

所以 对其求导，根据导数基本公式及求导法则满足：

$y^{\prime }=(x^3{)}^{\prime }-(x{)}^{\prime }+(3{)}^{\prime }=3x^2-1$

because 切点为 $(1,3)$，其横坐标为 $x=1$，

所以 曲线在该点处的切线斜率 $k$ 满足：

$k=y^{\prime }{|}_{x=1}=3\times 1^2-1=3-1=2$

因为 切线过点 $(1,3)$ 且斜率为 $k=2$，

所以 根据直线的点斜式方程满足：

$y-3=2(x-1)$

展开并移项化为标准一般式：

$y-3=2x-2⟹2x-y+1=0$

所以，曲线在点 $(1,3)$ 处的切线方程为 $2x-y+1=0$（或 $y=2x+1$）。

故答案为：$2x-y+1=0$（或 $y=2x+1$）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：导数的几何意义（切点处的导数等于切线斜率）、切线方程的联立化简。

2. 核心方法：导数工具法。

3. 避坑指南：

• 审题时必须明确已知点 $(1,3)$ 是否在曲线上。将 $x=1$ 代入原方程得 $1^3-1+3=3$，确认该点为切点。若已知点不在曲线上，则需要先设出切点坐标 $(x_0,y_0)$ 再进行求解。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于人教A版选择性必修第二册第四章《一元函数的导数及其应用》中关于导数几何意义应用的课后基础填空题。

2. 结论推广：对于任意标准多项式曲线 $y=x^3+bx+c$。在点 $(x_0,y_0)$ 处的切线斜率恒为 $k=3x_0^2+b$。其切线方程通式可表达为 $(3x_0^2+b)x-y+(y_0-3x_0^3-b{x}_0)=0$。利用该通式结构可以实现高阶导数小题的快速校验。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 16.01 直线的倾斜角与斜率

类题演练 (Links)

• 2005-江苏卷-14 填-导数的几何意义

• 2009-大纲卷II理-04 单-导数

• 2013-广东卷文-12 填-导数切线平行