2012-新课标卷理-16 填-数列求和

本题导读

本题考查数列的递推关系与分组求和。

📌【题干】

Question

（2012年新课标卷(理)）

数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_{n+1}+(-1{)}^n{a}_n=2n-1$，则 $\{a_n\}$ 的前 $60$ 项和为

🔍【思路分析】

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1. 由递推式分组考察每 $4$ 项。

2. 发现 $a_{4k+1}+a_{4k+2}+a_{4k+3}+a_{4k+4}$ 的规律。

3. 求前 $60$ 项和。

✅【答案】

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$1830$

✍【详细解析】

Abstract

$a_{n+1}+(-1{)}^n{a}_n=2n-1$，两式相减消元，可得每 $4$ 项为一组。

由递推式 $a_{n+1}+(-1{)}^n{a}_n=2n-1$ 写出 $n+1$ 的情形 $a_{n+2}+(-1{)}^{n+1}{a}_{n+1}=2n+1$。两式相加：$n$ 为奇数时得 $a_{n+2}+a_n=2$，$n$ 为偶数时得 $a_{n+2}+a_n=4n$。于是每 $4$ 项一组：$a_{4k+1}+a_{4k+2}+a_{4k+3}+a_{4k+4}=(a_{4k+1}+a_{4k+3})+(a_{4k+2}+a_{4k+4})=2+4(4k+2)=16k+10$，

$S_{60}={\sum }_{k=0}^{14}(16k+10)=16\times \frac{14\times 15}{2}+10\times 15=1680+150=1830$。

故答案为 $1830$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：数列的递推关系

核心方法：分组求和

避坑指南：周期数列

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于数列递推与求和

结论推广：可推广到含 $(-1{)}^n$ 的递推式

方法推广：含 $(-1{)}^n$ 的递推常按奇偶分组

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.07 一般数列的性质

类题演练 (Links)

• 2002-新课标理-22 解-数列的递推关系

• 2005-天津卷理-13 填-隔项递推数列通用性质

• 2005-山东卷理-21 解-数列的递推关系与通项公式