2012-新课标卷理-21 解-导数的应用

本题导读

本题考查导数的应用，以及函数的单调性与最值。

📌【题干】

Question

（2012年新课标卷(理)）

已知函数 $f(x)$ 满足 $f(x)=f^{\prime }(1)e^{x-1}-f(0)x+\frac{1}{2}{x}^2$.

(1) 求 $f(x)$ 的解析式及单调区间；

(2) 若 $f(x)⩾\frac{1}{2}{x}^2+ax+b$，求 $(a+1)b$ 的最大值.

🔍【思路分析】

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1. (1) 设 $f^{\prime }(1)=p$、$f(0)=q$，代入确定常数，求解析式与单调区间。

2. (2) 化恒成立为切线问题，求 $(a+1)b$ 的最大值。

✅【答案】

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(1) $f(x)=e^x-x+\frac{1}{2}{x}^2$；在 $(-\infty ,0)$ 上单调递减，在 $(0,+\infty )$ 上单调递增

(2) $(a+1)b$ 的最大值为 $\frac{e}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 设 $f^{\prime }(1)=p$，$f(0)=q$，则 $f(x)=p{e}^{x-1}-qx+\frac{1}{2}{x}^2$。

$f^{\prime }(x)=p{e}^{x-1}-q+x$，故 $p=f^{\prime }(1)=p-q+1\Rightarrow q=1$。

$f(0)=p{e}^{-1}=q=1\Rightarrow p=e$，故 $f(x)=e^x-x+\frac{1}{2}{x}^2$。

$f^{\prime }(x)=e^x-1+x$，$f^{\prime }(0)=0$，且 $f^{\prime }(x)$ 递增，故 $f$ 在 $(-\infty ,0)$ 减、$(0,+\infty )$ 增。

(2) $f(x)⩾\frac{1}{2}{x}^2+ax+b\Rightarrow e^x⩾(a+1)x+b$ 恒成立。

设 $k=a+1$，则 $b⩽e^x-kx$ 对任意 $x$ 成立，取 $x=\ln k$ 时 $b⩽k-k\ln k$。

$(a+1)b=k\cdot b⩽k^2(1-\ln k)$，求导得当 $k=\sqrt{e}$ 时最大，值为 $\frac{e}{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：导数的计算

核心方法：函数的单调性

避坑指南：函数的最值

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于导数的综合应用

结论推广：可推广到含参恒成立与最值问题

方法推广：恒成立问题转化为切线/分离参数

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2005-上海卷理-13 单-指数函数的单调性与值域

• 2005-全国卷I理-09 单-对数不等式的解法

• 2005-全国卷I理-17 解-三角函数的对称轴