2012-新课标卷理-22 解-圆的性质与相似

本题导读

本题考查圆的性质与相似三角形的判定，以及几何证明。

📌【题干】

Question

（2012年新课标卷(理)） 如图，$D,E$ 分别为 $△ABC$ 边 $AB,AC$ 的中点，直线 $DE$ 交 $△ABC$ 的外接圆于 $F,G$ 两点.若 $CF\parallel AB$，证明：

(1) $CD=BC$；

(2) $△BCD\sim △GBD$.

🔍【思路分析】

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1. (1) 由 $DE$ 是中位线与 $CF\parallel AB$ 证 $CD=BC$。
2. (2) 证角相等，用两角对应相等判相似。

✅【答案】

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(1) 证明见解析

(2) 证明见解析

✍【详细解析】

Abstract

(1) $D,E$ 是中点，$DE\parallel BC$。$CF\parallel AB$，结合圆内接四边形的性质， 可得 $\angle DBC=\angle BCD$，故 $CD=BC$。 (2) 由圆周角相等与已知平行关系，证 $\angle BCD=\angle GBD$、$\angle BDC=\angle GDB$， 故 $△BCD\sim △GBD$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：圆的性质

核心方法：相似三角形的判定

避坑指南：几何证明

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于圆的综合与相似

结论推广：可推广到圆内接四边形的证明

方法推广：相似判定：两角对应相等

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 17.03 点与圆的位置关系
• 17.07 圆幂定理

类题演练 (Links)

• 2006-浙江卷理-20 解-相似三角形的判定与性质
• 2008-大纲卷II理-12
• 2008-广东卷文-18 解-四棱锥相似与体积