2012-江西卷理-03 单-函数

本题导读

本题考查分段函数，以及复合函数的求值。

📌【题干】

Question

（2012年江西卷(理)）

若函数 $f(x)=\{\begin{array}{l}{x}^2+1,x\le 1\\ \lg x,x>1\end{array}$，则 $f(f(10))=$ ()

A. $\lg 101$　　　　　　　B. 2　　　　　　　C. 1　　　　　　　D. 0

🔍【思路分析】

破题导航

1. 计算复合函数 $f(f(10))$ 的核心原则是由内而外逐层剥离。首先需要计算内层函数值 $f(10)$。

2. 观察内层自变量 $x=10$，由于 $10>1$，应当代入分段函数的下半段解析式 $f(x)=\lg x$ 展开计算，利用 $\lg 10=1$ 求出第一层结果。

3. 将第一层求得的结果 $1$ 作为新的自变量，代入外层函数中计算 $f(1)$。

4. 观察新的自变量 $x=1$，由于 $1\le 1$，应当代入分段函数的上半段解析式 $f(x)=x^2+1$ 展开计算，从而得到最终的代数解。

✅【答案】

点击查看答案

B

✍【详细解析】

Abstract

要求复合函数 $f(f(10))$ 的值，采取由内而外逐步代入的方法。

第一步，求内层函数值 $f(10)$：

因为 自变量 $x=10>1$，

所以 应当代入下半段解析式 $f(x)=\lg x$，可得：

$f(10)=\lg 10=1$

第二步，将内层求得的结果 $1$ 代入外层函数，求 $f(1)$ 的值：

因为 此时自变量 $x=1\le 1$，

横向对比分段区间，应当代入上半段解析式 $f(x)=x^2+1$，可得：

$f(1)=1^2+1=1+1=2$

综上所述， $f(f(10))=2$。

故选 B#### 💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：分段函数的区间对应准则、常用对数的特殊值计算。

2. 核心方法：由内而外的逐层代入消元法。

3. 避坑指南：

• 极易在第二步计算 $f(1)$ 时选错区间。必须看清上半段的定义域边界是 $x\le 1$（包含端点 1），而下半段是 $x>1$（不包含端点 1），因此 $x=1$ 必须严格代入上半段的二次函数中计算。

• 基础对数运算不要混淆，牢记以 10 为底的常用对数满足 $\lg 10=1$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于人教A版高中数学必修第一册第三章《函数的概念与性质》中关于分段函数与复合求值的经典课后练习题。

2. 结论推广：对于任意多层复合的分段函数求值问题 $f(f(\cdots f(x_0)\cdots ))$，其解题算法结构等价于计算机编程中的条件分支嵌套逻辑。处理此模型的关键在于：每一步算出的因变量，都必须作为下一步输入自变量的全新身份，重新经历一次区间的“安检判定”，进而决定下一轮代入哪一条特定的代数通道。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 04.01 指数与对数运算

类题演练 (Links)

• 2005-浙江卷理-03 单-分段函数

• 2010-北京卷文-09 填-框图分段函数

• 2011-湖北卷理-17 解-概率