2012-江西卷理-18 解-两角和

本题导读

本题考查正弦定理。核心在于边化角法、公式法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2012年江西卷(理)）在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ . 已知 $A = \frac{π}{4}$ ， $b sin (\frac{π}{4} + C) - c sin (\frac{π}{4} + B) = a$

(1)求证： $B - C = \frac{π}{2}$ ；

(2)若 $a = 2$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

🔍【思路分析】

破题导航

第一问边角互化：已知等式中既包含边又包含角，优先选择正弦定理 $\frac{a}{s i n A} = \frac{b}{s i n B} = \frac{c}{s i n C} = 2 R$ ，将等式中的边 $a, b, c$ 统一替换为 $sin A, sin B, sin C$ ，使算式结构纯净化。

两角和展开与化简：将代入后的式子利用 $sin (\frac{π}{4} + x) = \frac{2}{2} sin x + \frac{2}{2} cos x$ 分别展开，由于两端包含对称交叉因式，展开通分后能大面积消元，最终将其合拢收缩为单项的差角正弦式 $sin (B - C) = 1$ 。

第二问多步求角：已知 $B - C = \frac{π}{2}$ 且由三角形内角和定理满足 $B + C = π - A = \frac{3 π}{4}$ 。通过解二元一次方程组，能直接锁定角 $B, C$ 的精确弧度值。

面积公式求值：应用正弦定理求出边 $b, c$ ，再代入三角形面积公式 $S = \frac{1}{2} b c sin A$ ，利用积化和差或诱导公式进行特殊值化简。

✅【答案】

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（

✍【详细解析】

Abstract

（1）证明： $B - C = \frac{π}{2}$

在 $△ A B C$ 中，根据正弦定理，有： $a = 2 R sin A, b = 2 R sin B, c = 2 R sin C$

将上述关系代入已知等式 $b sin (\frac{π}{4} + C) - c sin (\frac{π}{4} + B) = a$ 中，两边约去外接圆直径 $2 R$ ，得： $sin B sin (\frac{π}{4} + C) - sin C sin (\frac{π}{4} + B) = sin A$

因为已知 $A = \frac{π}{4}$ ，所以右端 $sin A = sin \frac{π}{4} = \frac{2}{2}$ 。应用两角和的正弦公式展开左端： $sin B (sin \frac{π}{4} cos C + cos \frac{π}{4} sin C) - sin C (sin \frac{π}{4} cos B + cos \frac{π}{4} sin B) = \frac{2}{2}$ $sin B (\frac{2}{2} cos C + \frac{2}{2} sin C) - sin C (\frac{2}{2} cos B + \frac{2}{2} sin B) = \frac{2}{2}$

两边同时约去常数系数 $\frac{2}{2}$ ，并展开括号： $sin B cos C + sin B sin C - sin C cos B - sin C sin B = 1$

由于中间项 $sin B sin C$ 与 $- sin C sin B$ 互为相反数，直接抵消简化为： $sin B cos C - cos B sin C = 1$

根据两角差的正弦公式，上式左端可直接收拢为： $sin (B - C) = 1$

因为在 $△ A B C$ 中， $A = \frac{π}{4}$ ，所以其余两角和满足 $B + C = π - \frac{π}{4} = \frac{3 π}{4}$ 。由于 $B, C$ 均为三角形内角，且 $C > 0$ ，故有： $- \frac{3 π}{4} < B - C < \frac{3 π}{4}$ 在此区间范围内，满足正弦值为 1 的角是唯一的，即： $B - C = \frac{π}{2}$

（2）解：若 $a = 2$ ，求 $△ A B C$ 的面积

由（1）中的结论及三角形内角和，联立方程组： ${B - C = \frac{π}{2} B + C = \frac{3 π}{4}$ 两式相加得 $2 B = \frac{5 π}{4} ⟹ B = \frac{5 π}{8}$ 。两式相减得 $2 C = \frac{π}{4} ⟹ C = \frac{π}{8}$ 。

根据正弦定理 $\frac{a}{s i n A} = \frac{b}{s i n B} = \frac{c}{s i n C}$ ，已知 $a = 2$ ， $sin A = \frac{2}{2}$ ： $2 R = \frac{a}{s i n A} = \frac{2}{\frac{2}{2}} = 2$ 从而可得边长表达式为： $b = 2 R sin B = 2 sin \frac{5 π}{8}$ $c = 2 R sin C = 2 sin \frac{π}{8}$

利用三角形的面积公式 $S = \frac{1}{2} b c sin A$ ： $S = \frac{1}{2} \times (2 sin \frac{5 π}{8}) \times (2 sin \frac{π}{8}) \times sin \frac{π}{4}$ $S = 2 sin \frac{5 π}{8} sin \frac{π}{8} \times \frac{2}{2} = 2 sin \frac{5 π}{8} sin \frac{π}{8}$

因为根据诱导公式， $sin \frac{5 π}{8} = sin (\frac{π}{2} + \frac{π}{8}) = cos \frac{π}{8}$ ，所以代入面积式中进行积的坍缩： $S = 2 cos \frac{π}{8} sin \frac{π}{8}$

根据倍角正弦公式 $2 sin θ cos θ = sin 2 θ ⟹ sin θ cos θ = \frac{1}{2} sin 2 θ$ ： $S = 2 \times (\frac{1}{2} sin \frac{π}{4}) = \frac{2}{2} \times \frac{2}{2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

综上所述， $△ A B C$ 的面积为 $\frac{1}{2}$ 。

故答案为： （1）证明见解析； （2） $△ A B C$ 的面积为 $\frac{1}{2}$ .

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正弦定理进行结构同化、两角和与差公式的拆分收拢、倍角公式与诱导公式联合消元。

核心方法：边化角法。当题目等式中同时含有边和角的正弦时，利用正弦定理统一化为角，随后即可转化纯粹的三角恒等变换问题。

避坑指南：

第一问由 $sin (B - C) = 1$ 解出 $B - C$ 时，必须对 $B - C$ 的取值范围进行严密的限定交代。不写范围直接断定 $B - C = \frac{π}{2}$ 会导致步骤扣分。

第二问求面积时，由于 $\frac{5 π}{8}$ 和 $\frac{π}{8}$ 是非特殊角，千万不要盲目去用半角公式开平方算其具体代数根。利用诱导公式 $sin \frac{5 π}{8} = cos \frac{π}{8}$ 将其转化为倍角正弦公式的基本元结构（ $sin θ cos θ$ ），能极其优雅地实现一步化简。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：本题源于人教A版高中数学选择性必修第一册第五章《三角恒等变换》与必修第二册第六章《平面向量及其应用》中解三角形交汇的主干中档解答大题。

结论推广：在任意 $△ A B C$ 中，若已知角 $A$ 的值，则对于形如 $b sin (ω + C) - c sin (ω + B) = a$ 类型的结构，其左端在通过正弦定理及差角公式化简后，均满足通项性质： $sin (B - C) = \frac{s i n A}{s i n ω}$ （本题中 $ω = \frac{π}{4}$ ，由于 $A = \frac{π}{4}$ ，故比值为 1）。熟知这一抽象代数同化模型，能帮助我们在理科大题第一问中快速预测并锁定最终的角关联结构。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

11.01 正弦定理

10.01 两角和与差及辅助角公式 类题演练 (Links)

2013-重庆卷文-18 解-余弦定理与面积最值

1994-全国卷理-08

1998-全国卷理-20

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