2012-浙江卷理-05 单-向量的模

本题导读

本题考查向量的模与共线的关系。

📌【题干】

Question

（2012年浙江卷(理)）

设 $a,b$ 是两个非零向量.()

A. 若 $|a+b|=|a|-|b|$，则 $a\perp b$

B. 若 $a\perp b$，则 $|a+b|=|a|-|b|$

C. 若 $|a+b|=|a|-|b|$，则存在实数 $\lambda$，使得 $b=\lambda a$

D. 若存在实数 $\lambda$，使得 $b=\lambda a$，则 $|a+b|=|a|-|b|$

🔍【思路分析】

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1. 分析 $|a+b|=|a|-|b|$ 成立的条件。

2. 该式等价于 $a,b$ 反向共线。

3. 判断各选项。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

$|a+b{|}^2=|a{|}^2+2a\cdot b+|b{|}^2=(|a|-|b|{)}^2=|a{|}^2-2|a||b|+|b{|}^2$，

需 $a\cdot b=-|a||b|$，即 $a,b$ 反向共线，存在 $\lambda <0$ 使 $b=\lambda a$。

故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：向量的模

核心方法：向量的数量积

避坑指南：向量的共线

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于平面向量基本性质

结论推广：可推广到向量夹角的判断

方法推广：$a\cdot b=|a||b|\cos \theta$

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.02 平面向量的线性运算

• 09.03 平面向量的数量积

类题演练 (Links)

• 2005-全国卷I理-21 解-椭圆的标准方程与几何性质

• 2005-湖南卷理-19 解-椭圆的几何性质与离心率

• 2006-重庆卷理-07 单-向量垂直与对称的几何特征