2012-浙江卷理-13 填-等比数列

本题导读

本题考查等比数列的通项与求和，以及方程思想。

📌【题干】

Question

（2012年浙江卷(理)）

设公比为 $q$（$q>0$）的等比数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$.若 $S_2=3a_2+2$，$S_4=3a_4+2$，则 $q=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 由 $S_2=3a_2+2$、$S_4=3a_4+2$ 建立 $q$ 的方程。

2. 两式相减消去 $a_1$。

3. 解 $q$（$q>0$）。

✅【答案】

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$\frac{3}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

$S_2=a_1(1+q)=3a_{1}q+2$，$S_4=a_1(1+q+q^2+q^3)=3a_1{q}^3+2$。

两式相减：$a_1(q^2+q^3)=3a_1(q^3-q)$，即 $a_1{q}^2(1+q)=3a_{1}q(q^2-1)$。

约去 $a_{1}q$（$\ne 0$）：$q(1+q)=3(q^2-1)$，$2q^2-q-3=0$。

$(2q-3)(q+1)=0$，$q>0$ 故 $q=\frac{3}{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等比数列的通项

核心方法：等比数列的求和

避坑指南：方程思想

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于等比数列

结论推广：可推广到 $S_n$ 与 $a_n$ 的关系

方法推广：$S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$（$q\ne 1$）

🔗【关联脉络】

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