2012-浙江卷理-14 填-二项式定理

本题导读

本题考查二项式定理与换元法的应用。

📌【题干】

Question

（2012年浙江卷(理)）

若将函数 $f(x)=x^5$ 表示为 $f(x)=a_0+a_1(1+x)+a_2(1+x{)}^2+\cdots +a_5(1+x{)}^5$，其中 $a_0,a_1,a_2,\cdots ,a_5$ 为实数，则 $a_3=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 令 $t=1+x$，则 $x=t-1$。

2. $f(x)=(t-1{)}^5$ 展开。

3. $a_3$ 是 $t^3$ 的系数。

✅【答案】

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$10$

✍【详细解析】

Abstract

令 $t=1+x$，$x=t-1$，则 $f(x)=x^5=(t-1{)}^5$。

$(t-1{)}^5=t^5-5t^4+10t^3-10t^2+5t-1$。

$a_3$ 是 $(1+x{)}^3=t^3$ 的系数，为 $10$。

故答案为 $10$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二项式定理

核心方法：换元法

避坑指南：二项展开

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于二项式展开

结论推广：可推广到多项式在某点展开

方法推广：换元 $t=1+x$ 后直接用二项式定理

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

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类题演练 (Links)

• 2005-上海卷理-04 填-二项式通项公式

• 2005-全国卷I理-14 填-二项式定理

• 2005-全国卷III理-03 单-二项式定理