2012-浙江卷理-15 填-向量的数量积

本题导读

本题考查向量的数量积与中线长公式。

📌【题干】

Question

（2012年浙江卷(理)）

在 $△ABC$ 中，$M$ 是 $BC$ 的中点，$AM=3$，$BC=10$，则 $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 用中线长公式求 $A{B}^2+A{C}^2$。

2. 由数量积公式求 $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}$。

✅【答案】

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$-16$

✍【详细解析】

Abstract

中线长公式：$A{M}^2=\frac{A{B}^2+A{C}^2}{2}-\frac{B{C}^2}{4}$。

$9=\frac{A{B}^2+A{C}^2}{2}-\frac{100}{4}=\frac{A{B}^2+A{C}^2}{2}-25$，故 $A{B}^2+A{C}^2=68$。

$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=\frac{A{B}^2+A{C}^2-B{C}^2}{2}=\frac{68-100}{2}=-16$。

故答案为 $-16$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：向量的数量积

核心方法：中线长公式

避坑指南：余弦定理

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于向量与解三角形

结论推广：可推广到平行四边形对角线关系

方法推广：$\vec{a}\cdot \vec{b}=\frac{|\vec{a}{|}^2+|\vec{b}{|}^2-|\vec{a}-\vec{b}{|}^2}{2}$

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.02 平面向量的线性运算

类题演练 (Links)

• 2002-新课标理-21 解-平面向量的数量积坐标运算

• 2005-上海卷理-03 填-平面向量的数量积坐标运算

• 2005-全国卷I理-15 填-平面向量的线性运算