2012-浙江卷理-16 填-点到直线的距离

本题导读

本题考查点到直线的距离与函数最值的综合。

📌【题干】

Question

（2012年浙江卷(理)）

定义：曲线 $C$ 上的点到直线 $l$ 的距离的最小值称为曲线 $C$ 到直线 $l$ 的距离.已知曲线 $C_1:y=x^2+a$ 到直线 $l:y=x$ 的距离等于曲线 $C_2:x^2+(y+4{)}^2=2$ 到直线 $l:y=x$ 的距离，则实数 $a=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 求 $C_2$（圆）到直线 $y=x$ 的距离。

2. 求 $C_1:y=x^2+a$ 到直线 $y=x$ 的距离（用切线）。

3. 令相等求 $a$。

✅【答案】

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$\frac{9}{4}$

✍【详细解析】

Abstract

$C_2:x^2+(y+4{)}^2=2$ 圆心 $(0,-4)$ 到 $y=x$ 距离 $d=\frac{|-4|}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}$，减半径 $\sqrt{2}$ 得 $\sqrt{2}$。

$C_1:y=x^2+a$ 到 $y=x$ 距离：当切线斜率 $=1$ 时取得，$y^{\prime }=2x=1\Rightarrow x=\frac{1}{2}$。

点 $(\frac{1}{2},\frac{1}{4}+a)$ 到 $y=x$ 距离 $=\frac{|\frac{1}{4}-a|}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$，得 $|\frac{1}{4}-a|=2$。

$a=\frac{9}{4}$。故答案为 $\frac{9}{4}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：点到直线的距离

核心方法：导数与切线

避坑指南：函数最值

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于点到直线距离与最值

结论推广：可推广到两曲线间距离

方法推广：曲线到直线最小距离在切线平行时取得

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2005-上海卷理-13 单-指数函数的单调性与值域

• 2005-上海卷理-19 解-椭圆的标准方程与几何性质

• 2005-全国卷I理-04 单-直线与圆的位置关系