2012-浙江卷理-22 解-三次函数与最值

本题导读

本题考查三次函数的最值，以及含绝对值的不等式恒成立。

📌【题干】

Question

（2012年浙江卷(理)）

已知 $a>0$，$b\in \mathbb{R}$，函数 $f(x)=4a{x}^3-2bx-a+b$.

(1) 证明：当 $0⩽x⩽1$ 时，

①函数 $f(x)$ 的最大值为 $|2a-b|+a$；

②$f(x)+|2a-b|+a⩾0$；

(2) 若 $-1⩽f(x)⩽1$ 对 $x\in [0,1]$ 恒成立，求 $a+b$ 的取值范围.

🔍【思路分析】

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1. (1) 求 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上的最值。

2. (2) 由 $-1⩽f(x)⩽1$ 恒成立求 $a+b$ 范围。

✅【答案】

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(1) 证明见解析

(2) $[-1,3]$

✍【详细解析】

Abstract

(1) $f^{\prime }(x)=12a{x}^2-2b$，$f(x)=4a{x}^3-2bx-a+b$。

$f(0)=b-a$，$f(1)=3a-b$，结合极值分析得最大值 $=|2a-b|+a$，且 $f(x)+|2a-b|+a⩾0$。

(2) 由 $-1⩽f(x)⩽1$ 对 $x\in [0,1]$ 恒成立，解得 $a+b\in [-1,3]$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三次函数

核心方法：函数的最值

避坑指南：含参恒成立

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于导数综合

结论推广：可推广到含绝对值的最值问题

方法推广：三次函数最值需考虑端点与极值点

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.04 三次函数性质全总结

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2005-上海卷理-13 单-指数函数的单调性与值域

• 2005-全国卷III理-16 填-平面直角坐标系与点坐标表示

• 2005-北京卷理-15 解-导数的几何意义与代数运算