本题导读
本题考查狄利克雷函数的概念，以及函数的值域。
📌【题干】
Question
（2012年福建卷(理)） 设函数 ，则下列结论错误的是()
A. 的值域为 B. 是偶函数
C. 不是周期函数 D. 不是单调函数
🔍【思路分析】
破题导航
- 审清题目核心约束：题干给出的函数 是典型的狄利克雷函数（Dirichlet function），其定义域为整个实数集 。题目要求选出**“错误的是”**。
- 分项判定性质：
- A项：直接观察分段函数的输出值，即可确定其值域。
- B项：依据偶函数的定义，验证在整个实数域上是否满足 。
- C项：根据有理数加有理数仍为有理数、无理数加有理数仍为无理数的性质，寻找其周期 。
- D项：在实数轴上任取两个点，通过函数值的交替波动判定其是否具备单调性。
✅【答案】
点击查看答案
C
✍【详细解析】
Abstract
我们对各选项关于狄利克雷函数 的性质表述进行逐一分析：
A选项判定：正确 根据定义，自变量 无论取何值，其对应的因变量 的输出结果只有 2 种情况：当 是有理数时， ；当 是无理数时， 。 因此，该函数的值域是由孤立点组成的集合 。A项表述正确，排除。
B选项判定：正确 对任意的实数 ，它的相反数 的有理/无理属性保持完全不变：
若 是有理数，则 必然也是有理数，此时 ；
若 是无理数，则 必然也是无理数，此时 。 综上，在整个定义域 上，恒满足 。根据奇偶性定义， 是标准的偶函数。B项表述正确，排除。
C选项判定：错误（本题目标选项） 设 是任意一个正有理数。 根据实数的代数封闭性基本定理：
若 是有理数，则 必然也是有理数，此时 ；
若 是无理数，则 必然也是无理数，此时 。 也就是说，任何一个正有理数 都是该函数的周期。因此，狄利克雷函数是一个周期函数（它有无穷多个有理数周期，但没有最小正周期）。 C项称其“不是周期函数”是错误的。
D选项判定：正确 因为在任意一个开区间 内，无论这个区间多么小，根据实数的稠密性原理，内部都必然同时存在无穷多个有理数和无理数。 这就导致函数值在 0 和 1 之间不断地进行高频剧烈跳跃，无法保持“随着 增大而变大或变小”的单调趋势。 因此， 在任何区间内都不是单调函数。D项表述正确，排除。
故选 C
💡【考点归纳与避坑指南】
Danger
- 核心考点：狄利克雷函数的概念及其五大核心性质、有理数与无理数的代数运算性质。
- 核心方法：定义域属性分类讨论法。处理类似狄利克雷函数这种以数集性质（有理/无理、整数/分数）进行分段的抽象函数性质题，必须紧扣自变量 和 、 在数集归属上的不变性或转换规律进行严密分析。
- 避坑指南：
- 掉入“无最小正周期等价于非周期函数”的陷阱：很多考生误认为只要一个函数找不出“最小正周期”，它就不是周期函数。切记周期函数的定义只要求存在常数 使得 即可，并没有规定必须有最小的正周期（常数函数 和本题的狄利克雷函数就是两个典型的没有最小正周期的周期函数）。
📖【试题探源与推广】
Tip
- 试题探源: 本题源于人教A版高中数学必修第一册第三章《函数概念与性质》后的思维拓展压轴题。狄利克雷函数是高等数学“数学分析”中极其著名的反例函数（它是处处不连续、处处不可导、但在黎曼积分下不可积而在勒贝格积分下可积的经典模型）。
- 结论推广:
- 狄利克雷函数广义周期模型定理：对于标准狄利克雷函数 。
- 其在实数域内满足：任何一个非零有理数 都是它的周期；而任何一个无理数则绝对不是它的周期。
- 由此可得出通用判定定理：狄利克雷函数的周期集严格为整个有理数集 。
- 牢记这一高等数学背景结论，在面对任何涉及狄利克雷函数的复合函数（如 、 ）的周期性或极限辨析时，均能直接简化计算。
🔗【关联脉络】
Multi column
知识锚点 (Nodes)