2012-福建卷理-08 单-抛物线焦点

本题导读

本题考查抛物线的标准方程与焦点坐标，以及双曲线的标准方程与几何性质。

📌【题干】

Question

（2012年福建卷(理)） 已知双曲线 $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的右焦点与抛物线 $y^2=12x$ 的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于()

A. $\sqrt{5}$　　　　　　　B. $4\sqrt{2}$　　　　　　　C. 3　　　　　　　D. 5

🔍【思路分析】

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1. 求取抛物线焦点：由抛物线标准方程 $y^2=2px=12x$ 解得 $2p=12⟹\frac{p}{2}=3$，确定焦点坐标为 $(3,0)$。
2. 提取双曲线基本量：由于右焦点重合，可知双曲线的半焦距 $c=3$，进而得到 $c^2=9$。根据双曲线标准方程可知 $a^2=4⟹a=2$。
3. 利用代数通法计算（解法一）：依据双曲线平方关系 $b^2=c^2-a^2$ 算出 $b^2$ 与 $b$，写出渐近线方程 $bx\pm ay=0$，利用点到直线的距离公式计算右焦点 $(c,0)$ 到渐近线的距离 $d$。
4. 利用几何结论快速得出（解法二，最优解）：直接利用圆锥曲线二级结论——双曲线的焦点到其渐近线的距离严格恒等于其虚半轴长 $b$。只需一步勾股差值即可瞬间口算输出答案。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

解法一：几何定值快捷法（最优解）

第一步：求抛物线的焦点 已知抛物线方程为 $y^2=12x$，对照标准方程 $y^2=2px$，可得： $2p=12⟹\frac{p}{2}=3$ 因为开口向右，其焦点在 $x$ 轴正半轴上，故抛物线焦点坐标为 $F(3,0)$。

第二步：求双曲线的基本几何量 由于已知双曲线的右焦点与该抛物线焦点重合，可知双曲线的右焦点亦为 $(3,0)$。 由此得到双曲线的半焦距 $c$ 为： $c=3⟹c^2=9$ 由双曲线标准方程 $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 可直接读取实半轴平方： $a^2=4⟹a=2$ 根据双曲线中参数的特征平方关系 $c^2=a^2+b^2$，可求得虚半轴平方： $b^2=c^2-a^2=9-4=5⟹b=\sqrt{5}$

第三步：几何结论直接判定 根据双曲线的核心几何性质：双曲线的任意一个焦点到其任意一条渐近线的垂直距离 $d$，在代数结构上是一个恒等于虚半轴长 $b$ 的定值。 因此，所求的距离 $d$ 直接等于： $d=b=\sqrt{5}$

故选 A

解法二：常规点到直线距离代数法 前两步同解法一，已求得双曲线基本量 $a=2$， $b=\sqrt{5}$，右焦点为 $F(3,0)$。 因为双曲线的焦点在 $x$ 轴上，其标准的渐近线方程为： $y=\pm \frac{b}{a}x⟹y=\pm \frac{\sqrt{5}}{2}x$ 取其中一条渐近线 $y=\frac{\sqrt{6}}{2}x$（注：此为原图笔误），正确应取 $y=\frac{\sqrt{5}}{2}x$，化为一般式方程： $\sqrt{5}x-2y=0$

利用点到直线的距离公式，求右焦点 $F(3,0)$ 到该直线的距离 $d$： $d=\frac{|\sqrt{5}\times 3-2\times 0|}{\sqrt{(\sqrt{5}{)}^2+(-2{)}^2}}$ $d=\frac{3\sqrt{5}}{\sqrt{5+4}}=\frac{3\sqrt{5}}{\sqrt{9}}=\frac{3\sqrt{5}}{3}=\sqrt{5}$

故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：抛物线焦点位置的判定、双曲线基本量 $a,b,c$ 的代数转换、点到直线距离公式的代数化简。
2. 核心方法：双曲线特征三角形几何性质法。在双曲线中，由原点 $O$、焦点 $F(c,0)$ 以及焦点在渐近线上的垂足 $M$ 构成的 $△OFM$ 是一个极其特殊的直角三角形。由于渐近线倾斜角的正切值为 $\frac{b}{a}$，在该直角三角形中，斜边为 $c$，一条直角边为实半轴 $a$（对应原点到垂足的距离），则根据勾股定理，另一条直角边（即焦点到渐近线的垂线段距离 $d$）必然严格等于虚半轴 $b$。
3. 避坑指南：

• 错把 $a^2$ 直接当成 $a$：如原图解析所示，极易在看到分母 4 时，大脑一热顺手写下 $a=4$，导致在后续勾股定理或斜率计算中全盘皆输。
• 抛物线焦点公式记混：部分考生容易把 $y^2=2px$ 的焦点坐标 $\left(\frac{p}{2},0\right)$ 错记为 $(p,0)$ 或 $\left(\frac{p}{4},0\right)$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题源于人教A版高中数学选择性必修第一册第三章《圆锥曲线与方程》中双曲线的渐近线与几何性质课后核心拓展习题。属于高考考查双曲线基本性质性质的常规中档送分题。
2. 结论推广:

• 双曲线特征垂直距离定值快速模型：对于任意标准双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（或 $\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1$）。
• 其左焦点、右焦点（或上焦点、下焦点）到其左渐近线、右渐近线的 4 条垂直距离线段。
• 无论双曲线的张口、斜率、离心率如何动态变动，其垂直距离数值永远恒等于虚半轴长 $b$： $d_{\text{焦点-渐近线}}\equiv b=\sqrt{c^2-a^2}$
• 牢记这一二级结论几何模型，在高考考场上面对任何关于“焦点到渐近线距离”的选择题或填空题时，均可直接免去写直线方程和代距离公式的繁琐过程，实现 直接得出。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结

• 18.02 双曲线专题全总结 类题演练 (Links)

• 2013-四川卷理-06 单-抛物线的标准方程与焦点坐标

• 2013-四川卷文-05 单-抛物线焦点距离

• 2013-天津卷理-05 单-双曲线性质