2012-辽宁卷文-11 单-几何概型线段

本题导读

本题考查几何概型，以及一元二次不等式的解法。

📌【题干】

Question

（2012年辽宁卷(文)） 在长为 $12\mathrm{cm}$ 的线段 $AB$ 上任取一点 $C$.现作一矩形，邻边长分别等于线段 $AC$，$CB$ 的长，则该矩形面积大于 $20{\mathrm{cm}}^2$ 的概率为()

A. $\frac{1}{6}$　　　　　　　B. $\frac{1}{3}$　　　　　　　C. $\frac{2}{3}$　　　　　　　D. $\frac{4}{5}$

🔍【思路分析】

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$x(12-x)>20⟺2<x<10$，区间长 $8$，概率 $=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}$，故选 C

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

设 $AC=x$（$0<x<12$），则 $CB=12-x$，矩形面积为 $x(12-x)$。

由 $x(12-x)>20$ 得 $x^2-12x+20<0$，即 $(x-2)(x-10)<0$，解得 $2<x<10$。

由几何概型（长度型），所求概率为

$P=\frac{10-2}{12}=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}$。

故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：几何概型（长度之比）；二次不等式求解

核心方法：“设线段长 → 写面积函数 → 解不等式定有利区间 → 区间长比总长”

避坑指南：事件等价于"$2<x<10$"，长度是 $8$ 而不是 $10-2$ 之外的任何估计；忘记端点开闭不影响概率，但把分母写成 $AB$ 上整点个数（离散化）就错成古典概型了。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：线段型几何概型题，与 2014 年辽宁卷文第 6 题、2013 年湖北卷文第 15 题、2012 年北京卷文第 3 题同族。

结论推广：$x(12-x)$ 在 $x=6$ 处取最大值 $36$；$x(12-x)>20$ 的解区间长为 $8$，概率 $=\frac{\text{有利区间长}}{\text{总长}}$。

方法推广：几何概型先把随机量参数化（这里就是 $x$），再把事件翻译成关于参数的不等式，最后算长度（面积、体积）之比。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 15.01 古典概型
• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2014-辽宁卷文-06 单-几何概型
• 2013-湖北卷文-15 填-几何概型长度
• 2012-北京卷文-03 单-几何概型面积