本题导读
本题考查集合的补集运算，以及集合的交集运算。
📌【题干】
Question
（2012年辽宁卷(理)） 已知全集 , 集合 , 集合 , 则 ()
A. B. C. D.
🔍【思路分析】
破题导航
- 方法一：直接分步运算法
- 第一步：根据补集的定义，从全集 中分别剔除属于集合 和集合 的元素，求出 和 。
- 第二步：根据交集的定义，找出这两个补集所共同包含的交集元素，得出最终结果。
- 方法二：德·摩根定律法（整体变形法）
- 利用集合运算性质（德·摩根定律）： 。
- 第一步：先求出 与 的并集 。
- 第二步：求并集在全集 中的补集，即可直接得到答案。
✅【答案】
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B
✍【详细解析】
Abstract
方法一：直接运算法
因为 全集 ， 集合 ， 所以 集合 在全集 中的补集为：
因为 集合 ， 所以 集合 在全集 中的补集为：
根据交集的定义，提取 与 的公共元素：
方法二：德·摩根定律法
根据集合的德·摩根定律，有：
首先计算 与 的并集：
然后再求该并集在全集 中的补集，即从 中剔除上述元素：
综上所述， 。
故选 B#### 💡【考点归纳与避坑指南】 [!danger]
- 核心考点：全集限制下的补集抽取、双集合交并集的基本运算。
- 核心方法：直接元素列举法。
- 避坑指南：
- 剔除元素时由于细心度不够导致漏数或错数。例如在求 时漏掉元素 或 。
- 容易将交集符号 与并集符号 混淆，误求成补集的并集导致错选。
📖【试题探源与推广】
Tip
- 试题探源：本题源于人教A版高中数学必修第一册第一章《集合与常用逻辑用语》中关于集合基本运算的课后高频基础题。
- 结论推广：本题所涉及的整体变换关系属于集合论中的基本定理——德·摩根定律（De Morgan’s laws）。其通用数学表达形式为： 在面对多集合复杂复合运算时，合理利用德·摩根定律对表达式进行整体坍缩或展开，能够将多次补集运算精简为单次并/交集运算，从而大幅降低由于多次列举产生的数位失误率。
🔗【关联脉络】
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