本题导读
本题考查简单线性规划，以及二元一次不等式组表示的平面区域。
📌【题干】
Question
（2012年辽宁卷(理)） 设变量 满足 , 则 的最大值为 ()
A. 20 B. 35 C. 45 D. 55
🔍【思路分析】
破题导航
- 方法一：图解法（标准几何法）
- 画可行域：在直角坐标系中，依次画出直线 、 、 、 、 。结合不等号方向，框定出封闭或半封闭的凸多边形平面区域（可行域）。
- 分析目标函数几何特征：令 ，将其转化为斜截式直线方程： 。该直线的斜率为 ，在 轴上的截距为 。要使 最大，只需直线在向上平移的过程中，在 轴上的截距达到最大。
- 锁定最优解顶点：由于目标函数直线的斜率 介于可行域边界直线斜率之间，平移到可行域最右上方的顶点处时截距最大。求出该关键顶点的坐标，代入计算即可。
- 方法二：代数构造型法（免建系快捷法）
- 将目标函数 拆分为约束条件因式的线性组合。
- 设 。通过对应系数相等求出 的值。
- 利用已知因式的取值边界直接相加卡位，若边界能够同时取得，则可直接秒出最大值。
✅【答案】
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D
✍【详细解析】
Abstract
方法一：图解法
令目标函数为 。 由约束条件不等式组 绘制出平面可行域：
由图可知，可行域是一个多边形区域。 将目标函数变形为关于直线的斜截式形式：
该直线系是一组斜率恒为 的平行直线。当直线向右上方平移时，其在 轴上的截距 逐渐增大，从而目标函数值 随之增大。 观察图形特征，当基准直线平移经过可行域最右上方的边界交点（设为点 ）时，截距达到最高上限值。
点 是由下列两边界直线交汇生成的顶点： 解该简单的二元一次方程组，直接得点 的坐标为：
验证点 是否满足剩余的隐藏约束条件 ： 完全符合，故点 为本题的最优解点。
将最优解点 坐标代入目标函数中，求得最大值：
故选 D#### 💡【考点归纳与避坑指南】 [!danger]
- 核心考点：二元一次不等式组可行域的正确框定、目标函数截距变化趋势的定性判定。
- 核心方法：图解平移法。
- 避坑指南：
- 框定平面区域时容易把方向弄反，导致找错顶点。例如 表示的是直线 的左上方区域，可以通过带入原点 进行方向真伪校验。
- 求解顶点坐标时粗心算错。平移完直线后，必须通过精准联立方程组求交点，切忌通过肉眼在草稿纸上估读坐标。
📖【试题探源与推广】
Tip
- 试题探源：本题源于人教A版高中数学老教材必修五第三章《不等式》中关于简单的线性规划问题的经典高考主干中档选择题。
- 结论推广：本题代数结构可由待定系数构造型直接免去画图实现纯代数推广。 要求 的最大值，尝试将其改写为约束条件因式 与 的线性叠加： 对比对应项系数对齐，列出方程组： 从而恒等式化为： 依据已知不等式组的同向放大边界：
- 因为 （不等号反向，无法直接用于求最大值卡位） 由此可见，由于系数出现负数，不完全满足同向累加。此时可将隐藏的边界条件 引入进行三元重构： 由已知边界直接扩缩：
- 因为
- 因为 两式同向直接相加： 当且仅当 且 （即 ）时等号同时成立。利用此代数因式重组模型，可在无需任何作图工具的前提下，10 秒内直接破题。
🔗【关联脉络】
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