2012-辽宁卷理-09 单-框图

本题导读

本题考查程序框图与算法流程，以及循环结构。

📌【题干】

Question

（2012年辽宁卷(理)） 执行如图所示的程序框图，则输出的 $S$ 值是 ()

A. -1　　　　　　　B. $\frac{3}{2}$　　　　　　　C. $\frac{2}{3}$　　　　　　　D. 4

🔍【思路分析】

破题导航

1. 状态初始化：进入程序时，赋予初始值 $S=4,i=1$。
2. 理解循环逻辑：

• 每次进入判断框，检测计数器是否满足条件 $i<9$。
• 若满足，执行核心递推式 $S=\frac{2}{2-S}$，随后计数器自增 $i=i+1$。
• 若不满足（即 $i\ge 9$），则跳出循环，输出当前的 $S$ 值。

3. 寻找周期特征：由于判断终止线较远（ $i=9$ ），直接硬算容易由于步数过多导致失误。顺次迭代前几项，观察 $S$ 的取值是否具有周期性规律。
4. 定位最终解：确定周期 $T$ 后，利用计数器 $i$ 最终停止时的步数，通过余数对应锁定目标 $S$。

✅【答案】

点击查看答案

D

✍【详细解析】

Abstract

根据程序框图的指示逻辑，我们对算法的每一步执行状态进行精确跟踪模拟：

• 初始状态： $S=4,i=1$

• 第一轮循环 ($i=1$)： 满足条件 $i<9$，进入循环。 更新 $S$ 的值： $S=\frac{2}{2-4}=\frac{2}{-2}=-1$。 计数器自增： $i=1+1=2$。

• 第二轮循环 ($i=2$)： 满足条件 $2<9$，继续循环。 更新 $S$ 的值： $S=\frac{2}{2-(-1)}=\frac{2}{3}$。 计数器自增： $i=2+1=3$。

• 第三轮循环 ($i=3$)： 满足条件 $3<9$，继续循环。 更新 $S$ 的值： $S=\frac{2}{2-\frac{2}{3}}=\frac{2}{\frac{4}{3}}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$。 计数器自增： $i=3+1=4$。

• 第四轮循环 ($i=4$)： 满足条件 $4<9$，继续循环。 更新 $S$ 的值： $S=\frac{2}{2-\frac{3}{2}}=\frac{2}{\frac{1}{2}}=4$。 计数器自增： $i=4+1=5$。

此时可以明显观察到，在第四轮循环结束后， $S$ 的值重新回归到了初始值 $4$。 这意味着 变量 $S$ 的取值数列具有以 $T=4$ 为固定长周期的循环特征，具体分布为： $-1,\frac{2}{3},\frac{3}{2},4,\cdots$

由于 循环终止的临界点判定为 $i<9$： 当进行到第 8 轮循环体执行完毕后，计数器自增变为 $i=8+1=9$。 重新回到判断框，此时 $9<9$ 不成立（走向“否”分支），程序直接跳出循环并输出 $S$。

因此，最终输出的 $S$ 是第 8 轮循环计算后得到的值。 由于 循环次数为 8 次，且周期 $T=4$， 因为 $8÷4=2\cdots 0$ （即恰好完成了 2 个完整周期的循环）， 所以 第 8 次计算出的 $S$ 值应该与第 4 次（一个周期末尾）计算出的 $S$ 值完全一致，即： $S=4$

故选 D#### 💡【考点归纳与避坑指南】 [!danger]

1. 核心考点：直到型/当型循环结构的边界跨越特征、分式分级递推数列的周期性提炼。
2. 核心方法：状态顺次执行法（周期归纳法）。
3. 避坑指南：

• 极易在分式的多层通分上由于粗心产生计算失误。例如在第三轮计算 $\frac{2}{2-\frac{2}{3}}$ 时把分母看错。
• 混淆跳出循环时 $i$ 的数值。程序在第 8 次执行完核心体后， $i$ 变为了 $9$，此时判定为“否”而退出。也就是说，变量 $S$ 总共经历了 8 次 严格更新，而不是 9 次。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于人教A版高中数学老教材必修三第一章《算法初步》中关于程序框图经典循环结构的高考主干中档填空/选择题。
2. 结论推广：本题的分式递推关系 $f(S)=\frac{2}{2-S}$ 属于数学中典型的一阶分式线性变换（Mobius Transformation，莫比乌斯变换）。其通项矩阵表达为： $M=\left(\begin{array}{cc}0& 2\\ -1& 2\end{array}\right)$ 计算该矩阵的幂次可以发现， $M^4=16I$（其中 $I$ 为单位矩阵），这从高等代数矩阵特征值的角度完美解释了为什么该映射迭代 4 次后必然发生周期性坍缩并回归初始状态。掌握这一高数代数背景，能在审题的第一时间判定出其周期必定为 4。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.07 一般数列的性质 类题演练 (Links)

• 2013-新课标II卷理-06 单-程序框图

• 2008-山东卷文-14 填-程序框图循环输出

• 2008-广东卷文-13 填-程序框图整除输出