2012-辽宁卷理-12 单-导数

本题导读

本题考查导数在不等式恒成立中的应用，以及利用导数研究函数的单调性与最值。

📌【题干】

Question

（2012年辽宁卷(理)） 若 $x\in [0,+\infty )$, 则下列不等式恒成立的是 ()

A. ${\text{e}}^x\le 1+x+x^2$　　　　　　　　　　B. $\frac{1}{\sqrt{1+x}}\le 1-\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}{x}^2$

C. $\cos x\ge 1-\frac{1}{2}{x}^2$　　　　　　　　　　　　D. $\ln (1+x)\ge x-\frac{1}{8}{x}^2$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 宏观数学背景认知（高观点快速得出）： 四个选项的右端多项式，本质上全都是左端初等函数在 $x=0$ 处进行**麦克劳林展开（泰勒展开）**的二次截断多项式或其变体。熟记各经典初等函数的泰勒公式，能够直接在直觉上判断余项的正负，从而快速排除或锁定目标。
2. 方法一：特殊值快速排除法（小题通法）

• 作为选择题，若不等式恒成立，则对区间内的任意特值都不能出现反例。
• 选取较大的特殊值（如 $x\to +\infty$ ）、或者中等特殊值（如 $x=1$、 $x=\pi$ ），带入各选项进行极限趋势和代数大小对比，能够高概率斩杀错误选项。

3. 方法二：构造函数求导法（解答题严谨通法）

• 针对最符合直觉的正确选项，将其移项后构造辅助函数 $f(x)$。
• 通过求导分析 $f^{\prime }(x)$ 在 $[0,+\infty )$ 上的正负号，判定函数的单调性，进而结合端点值 $f(0)$ 锁定全局最值状态。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

快捷技巧：特殊值排除法

我们通过选取特定实数或极限态，对各选项进行真伪校验：

• 检验选项 (A)： 令 $x\to +\infty$，根据增长速度模型，指数函数 ${\text{e}}^x$ 的增长速率远快于任意幂函数（二次多项式 $1+x+x^2$）。 显然当 $x$ 足够大时，必然有 ${\text{e}}^x>1+x+x^2$，原小于等于号破裂。 (具体测试：取 $x=3$， ${\text{e}}^3\approx 20.08$，而 $1+3+3^2=13$， $20.08>13$，出现反例，排除A)

• 检验选项 (D)： 取特殊值 $x=7$。 左端 $=\ln (1+7)=\ln 8=3\ln 2\approx 3\times 0.693=2.079$ 右端 $=7-\frac{1}{8}\times 7^2=7-\frac{49}{8}=7-6.125=0.875$ 此点满足左大右小。但如果我们取更大的值呢？ 当 $x\to +\infty$ 时，对数函数 $\ln (1+x)$ 增长极度平缓，而右端二次项 $-\frac{1}{8}{x}^2$ 呈现二次抛物线式向下崩塌。 等一下，右端是 $x-\frac{1}{8}{x}^2$。当 $x\to +\infty$ 时， $-\frac{1}{8}{x}^2$ 占主导，右端趋于 $-\infty$。这导致当 $x$ 很大时，左端正数必然大于右端负数，无法排除。 我们需要在零点附近寻找更精细的反例。取 $x=2$： 左端 $=\ln 3\approx 1.0986$ 右端 $=2-\frac{1}{8}\times 2^2=2-0.5=1.5$ 因为 $1.0986<1.5$，左端小于右端，与已知大于等于号冲突，产生反例，排除D。

• 检验选项 (B)： 取特殊值 $x=1$。 左端 $=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\approx 0.707$ 右端 $=1-\frac{1}{2}\times 1+\frac{1}{4}\times 1^2=1-0.5+0.25=0.75$ 因为 $0.707\le 0.75$ 成立。再取一个大点的值，如 $x=4$： 左端 $=\frac{1}{\sqrt{1+4}}=\frac{1}{\sqrt{5}}\approx 0.447$ 右端 $=1-\frac{1}{2}\times 4+\frac{1}{4}\times 4^2=1-2+4=3$ 因为 $0.447\le 3$ 成立。选项B由于多项式后期快速抬升，较难通过简单特值排除，需要严谨证明或先看C。

• 检验与证明选项 (C)： 构造辅助差函数： $f(x)=\cos x-\left(1-\frac{1}{2}{x}^2\right)=\cos x+\frac{1}{2}{x}^2-1$。 在 $x\in [0,+\infty )$ 上对其进行连续求导： 一阶导函数： $f^{\prime }(x)=-\sin x+x=x-\sin x$ 因为 在数学主干性质中，当 $x>0$ 时，第一象限及后续区域内线形函数的增长恒快于正弦函数的包络，即恒有 $x>\sin x$。 所以 当 $x\in (0,+\infty )$ 时，一阶导数严格满足： $f^{\prime }(x)>0$ 这表明 辅助函数 $f(x)$ 在闭区间 $[0,+\infty )$ 上是严格单调递增的。 根据单调递增函数的性质，函数在区间起点左端取得全局最小值： $f(x{)}_{\text{min}}=f(0)=\cos 0+\frac{1}{2}\times 0^2-1=1+0-1=0$ 因为 最小值等于 0，所以对任意的 $x\in [0,+\infty )$，恒满足： $f(x)\ge 0⟹\cos x+\frac{1}{2}{x}^2-1\ge 0⟹\cos x\ge 1-\frac{1}{2}{x}^2$ 此不等式完美在全局闭区间上恒成立。

(为了绝对闭环逻辑，我们顺带证伪B：对B构造函数求导可发现其导数在靠近 0 的右侧区域内大小符号会发生翻转，导致其在极小邻域内无法恒成立。)

故选 C#### 💡【考点归纳与避坑指南】 [!danger]

1. 核心考点：导数判定多层复合函数的全局单调特征、特殊三角不等式 $x>\sin x$ 的基础卡位作用。
2. 核心方法：

• 特殊值点代数排除法：在面对高考试卷的选择题压轴位置时，直接针对A、D等具备明显背离形态的选项带入小整数（如 $x=2,3$ ），能在 30 秒内直接砍掉 2-3 个干扰项，是极重要的得分防御性战术。
• 多阶逐层求导法：对于无法直观看出导数正负的函数，可连续求导至能够轻松看出正负的阶数，再由内向外层层逆推回原函数。

3. 避坑指南：

• 避免在第一步就试图对B项进行极其复杂的根式分式求导。由于B项包含 $\frac{1}{\sqrt{1+x}}$，求导后会派生出高次分式方程，属于“计算陷阱”，极易在考场上彻底消耗掉考生的宝贵时间。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于人教A版高中数学选择性必修第二册第五章《一元函数的导数及其应用》中关于利用导数证明不等式恒成立的高考传统压轴题。
2. 结论推广：本题选项 (C) 是高等数学中**泰勒级数（Taylor Series）以及微积分中著名的余项估计（Remainder Estimation）**的经典化身。 在原点 $x=0$ 处，正余弦函数的无穷展开式满足： $\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots +(-1{)}^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}+\cdots$ 由于该级数属于交错级数，且当 $x$ 在合理邻域内时，各项绝对值单调递减。依据交错级数审敛定理（莱布尼茨判别法）的截断误差性质：交错级数的任意偶数项截断多项式，其值必然小于或等于原函数真实值。 由于选项 (C) 正好是在第二项 $\frac{x^2}{2}$ 处进行了截断，余项的第一项为 $+\frac{x^4}{24}>0$，所以从高等数学的视点宏观俯瞰， $\cos x\ge 1-\frac{1}{2}{x}^2$ 的恒成立具有不可动摇的数理必然性。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.03 专题-恒成立问题

• 05.02 函数的四大性质 类题演练 (Links)

• 1987-全国卷理-05 单-函数的单调性

• 1991-全国卷理-13

• 1997-全国卷理-13 单-奇偶函数与单调性的不等式