2012-重庆卷文-19 解-三角函数解析式与值域

本题导读

本题考查由图象特征求、、。

📌【题干】

Question

（2012年重庆卷(文)） 设函数 $f(x)=A\sin (\omega x+\phi )$（其中 $A>0$，$\omega >0$，$-\pi <\phi ⩽\pi$）在 $x=\frac{\pi }{6}$ 处取得最大值 $2$，其图象与 $x$ 轴的相邻两个交点的距离为 $\frac{\pi }{2}$.

(1)求 $f(x)$ 的解析式；

(2)求函数 $g(x)=\frac{6{\cos }^{4}x-{\sin }^{2}x-1}{f\left(x+\frac{\pi }{6}\right)}$ 的值域.

🔍【思路分析】

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$A=2$，$\frac{\pi }{\omega }=\frac{\pi }{2}\Rightarrow \omega =2$，$2\cdot \frac{\pi }{6}+\phi =\frac{\pi }{2}\Rightarrow \phi =\frac{\pi }{6}$；分子 $=(3{\cos }^{2}x+2)\cos 2x$，分母 $=2\cos 2x$，约分后值域为 $[1,\frac{7}{4})\cup (\frac{7}{4},\frac{5}{2}]$。

✅【答案】

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(1)$f(x)=2\sin \left(2x+\frac{\pi }{6}\right)$；(2)值域为 $\left[1,\frac{7}{4}\right)\cup \left(\frac{7}{4},\frac{5}{2}\right]$

✍【详细解析】

Abstract

（1）最大值为 $A$，故 $A=2$。

相邻两零点间距离为半个周期，$\frac{T}{2}=\frac{\pi }{2}$，$T=\pi$，$\omega =\frac{2\pi }{T}=2$。

由 $x=\frac{\pi }{6}$ 处取最大值：$2\times \frac{\pi }{6}+\phi =\frac{\pi }{2}+2k\pi$，$\phi =\frac{\pi }{6}+2k\pi$。

结合 $-\pi <\phi ⩽\pi$，得 $\phi =\frac{\pi }{6}$。

所以 $f(x)=2\sin \left(2x+\frac{\pi }{6}\right)$。

（2）$f\left(x+\frac{\pi }{6}\right)=2\sin \left(2x+\frac{\pi }{3}+\frac{\pi }{6}\right)=2\sin \left(2x+\frac{\pi }{2}\right)=2\cos 2x$。

分子：$6{\cos }^{4}x-{\sin }^{2}x-1=6{\cos }^{4}x-(1-{\cos }^{2}x)-1=6{\cos }^{4}x+{\cos }^{2}x-2$。

令 $u={\cos }^{2}x$：$6u^2+u-2=(3u+2)(2u-1)=(3{\cos }^{2}x+2)\cos 2x$。

当 $\cos 2x\ne 0$ 时，$g(x)=\frac{(3{\cos }^{2}x+2)\cos 2x}{2\cos 2x}=\frac{3{\cos }^{2}x+2}{2}$。

$\cos 2x=0⟺{\cos }^{2}x=\frac{1}{2}$，此点不在定义域内。

故 ${\cos }^{2}x\in [0,1]$ 且 ${\cos }^{2}x\ne \frac{1}{2}$，$\frac{3{\cos }^{2}x+2}{2}\in [1,\frac{7}{4})\cup (\frac{7}{4},\frac{5}{2}]$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：$A$、$\omega$、$\phi$ 的图象确定法；因式分解约分；含”除点”的值域

核心方法：“最大值定 $A$、零点距定 $\omega$、最值点定 $\phi$“三步定型；分子按 ${\cos }^{2}x$ 降幂整理后因式分解

避坑指南：约去 $\cos 2x$ 的前提是 $\cos 2x\ne 0$，必须把 ${\cos }^{2}x=\frac{1}{2}$ 从取值范围中剔除，值域因此裂成两段；不剔除会错答成连续区间 $\left[1,\frac{5}{2}\right]$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：$A\sin (\omega x+\phi )$ 定型与恒等变换求值域综合题，与 2012 年湖北卷文第 18 题、2012 年湖南卷文第 18 题同族。

结论推广：$\frac{f(x+\alpha )}{f(x)}$ 型结构常可约分：$2\sin \left(2x+\frac{\pi }{2}\right)=2\cos 2x$ 正是”相位差恰使正弦变余弦”的典型；约分后必须注明排除的取值。

方法推广：三角解答题先”定型”再”化简”：定型用图象三要素，化简时把式子统一成单一三角函数（或其二次式）再求值域。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2012-湖北卷文-18 解-三角函数对称轴与值域
• 2012-湖南卷文-18 解-三角函数图象与单调区间
• 2013-四川卷文-06 单-三角函数图象定参