2012-重庆卷理-01 单-数列单调

本题导读

本题考查等差数列的性质，以及等差数列的前项和公式。

📌【题干】

Question

（2012年重庆卷(理)） 在等差数列 $\{a_n\}$ 中，$a_2=1$，$a_4=5$，则 $\{a_n\}$ 的前 5 项和 $S_5=$()

A. 7　　　　　　　B. 15　　　　　　　C. 20　　　　　　　D. 25

🔍【思路分析】

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1. 基本量法思路：由 $a_2$ 和 $a_4$ 算出公差 $d$，进而求出首项 $a_1$。再利用求和公式 $S_5=\frac{5(a_1+a_5)}{2}$ 或 $S_5=5a_1+\frac{5\times 4}{2}d$ 算出答案。
2. 等差中项性质法思路（最优解）：利用等差数列的对称性，第 2 项与第 4 项的等差中项恰好是第 3 项，即 $2a_3=a_2+a_4$。而奇数项的和 $S_5$ 满足性质 $S_5=5a_3$。由此可免去求解首项与公差的繁琐步骤，一步化简得出结果。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

解法一：等差中项性质法（最优解） 根据等差数列的性质， $a_3$ 是 $a_2$ 与 $a_4$ 的等差中项，因此满足： $2a_3=a_2+a_4$ 代入数据得： $2a_3=1+5=6⟹a_3=3$

根据等差数列前 $n$ 项和的对称性质，其前 5 项和 $S_5$ 与中间项 $a_3$ 的关系满足： $S_5=\frac{5(a_1+a_5)}{2}$ 因为 $a_1+a_5=2a_3$，所以： $S_5=5a_3$ 将 $a_3=3$ 代入计算： $S_5=5\times 3=15$

故选 B

解法二：基本量方程法 设等差数列 $\{a_n\}$ 的首项为 $a_1$，公差为 $d$。 由通项公式 $a_n=a_1+(n-1)d$ 可列方程组： $\{\begin{array}{l}{a}_1+d=1\text{(1)}\\ a_1+3d=5\text{(2)}\end{array}$

用②式减去①式（② - ①）得： $2d=4⟹d=2$

将 $d=2$ 代入①式中解得： $a_1+2=1⟹a_1=-1$

根据等差数列前 $n$ 项和公式： $S_5=5a_1+\frac{5\times 4}{2}d=5\times (-1)+10\times 2=-5+20=15$

故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：等差数列通项公式的线性组合、等差中项性质 $a_i+a_j=a_k+a_l(i+j=k+l)$、奇数项求和与中项的关系。
2. 核心方法：整体代换性质法。在等差数列中，遇到对称分布的已知项求奇数项和 $S_{2k-1}$，利用通式 $S_{2k-1}=(2k-1)a_k$ 直接一步到位，能大幅提高选择题的解题效率。
3. 避坑指南：

• 基础运算粗心：在解法二中，利用方程求首项时，由 $a_1+2=1$ 极易因粗心算成 $a_1=1$。使用解法一的性质法可以有效避免此类常规运算失误。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题源于人教A版高中数学选择性必修第二册第四章《数列》中等差数列求和性质的课后基础习题。作为本卷的开篇第 1 题，主要考查学生对基础公式和基本性质的掌握程度。
2. 结论推广:

• 等差数列奇数项和通用模型：若 $\{a_n\}$ 为等差数列，对于任意的正整数 $k(k\ge 1)$，其前 $2k-1$ 项的和 $S_{2k-1}$ 恒等于项数与正中间项（第 $k$ 项）的乘积： $S_{2k-1}=(2k-1)a_k$
• 本题中求 $S_5$，项数为 5（即 $2k-1=5⟹k=3$），正中间项为 $a_3$。直接套用推广通式： $S_5=5a_3$。此二级结论在解决高阶等差数列求和选择、填空题时属于核心快捷方法。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结 类题演练 (Links)

• 2013-广东卷理-12 填-等差数列性质

• 2013-大纲卷理-17 解-等差数列通项

• 2014-北京卷理-12 填-等差数列性质