2012-重庆卷理-16 解-导数

本题导读

本题考查导数的几何意义。核心在于导数运算法、列表法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2012年重庆卷(理)）

设函数 $f(x)=a\ln x+\frac{1}{2x}+\frac{3}{2}x+1$，其中在 $a\in \mathbb{R}$，曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1,f(1))$ 处的切线垂直于 $y$ 轴.

(1)求 $a$ 的值；

(2)求函数 $f(x)$ 极值.

🔍【思路分析】

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1. 第（Ⅰ）问思路：

• 首先明确函数的定义域为 $(0,+\infty )$。

• 对 $f(x)$ 求导，写出含有参数 $a$ 的导函数 $f^{\prime }(x)$。

• 理解几何条件：“切线垂直于 $y$ 轴”意味着该切线是一条水平直线，其斜率 $k=0$。根据导数的几何意义，点 $(1,f(1))$ 处的切线斜率等于 $f^{\prime }(1)$，由此建立一元一次方程 $f^{\prime }(1)=0$ 解出 $a$。

2. 第（Ⅱ）问思路：

• 将求出的 $a=-1$ 代回原函数与导函数中，对导函数进行通分、因式分解化简，表示为标准的有理分式形式。

• 令 $f^{\prime }(x)=0$ 求出导函数的全部实数根。

• 严格在定义域 $(0,+\infty )$ 内，通过观察各区间内导函数的正负号分布（可以使用“列表法”），确定原函数的单调性走势，从而判定并计算出极值。

✅【答案】

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(1) $a=-1$

(2) 极小值为 $3$，无极大值

✍【详细解析】

Abstract

（Ⅰ）解：

函数 $f(x)=a\ln x+\frac{1}{2x}+\frac{3}{2}x+1$ 的定义域为 $(0,+\infty )$。

对 $f(x)$ 求导，利用导数的四则运算法则及基本初等函数求导公式可得：

$f^{\prime }(x)=a\cdot \frac{1}{x}+\frac{1}{2}\cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right)+\frac{3}{2}=\frac{a}{x}-\frac{1}{2x^2}+\frac{3}{2}$

因为曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1,f(1))$ 处的切线垂直于 $y$ 轴，

说明该切线为一条水平线，其斜率严格等于 0。

根据导数的几何意义，切线斜率 $k=f^{\prime }(1)=0$，代入 $x=1$ 建立方程：

$\frac{a}{1}-\frac{1}{2\times 1^2}+\frac{3}{2}=0$

$a-\frac{1}{2}+\frac{3}{2}=0⟹a+1=0$

解得参数 $a$ 的值为：

$a=-1$

（Ⅱ）解：

由（Ⅰ）可知 $a=-1$，将其代回原函数及导函数中，可得：

$f(x)=-\ln x+\frac{1}{2x}+\frac{3}{2}x+1$

$f^{\prime }(x)=-\frac{1}{x}-\frac{1}{2x^2}+\frac{3}{2}$

为了便于判定导函数的符号，将 $f^{\prime }(x)$ 进行通分化简：

$f^{\prime }(x)=\frac{-2x-1+3x^2}{2x^2}=\frac{3x^2-2x-1}{2x^2}$

对分子的二次多项式利用十字相乘法进行因式分解：

$f^{\prime }(x)=\frac{(3x+1)(x-1)}{2x^2}$

令 $f^{\prime }(x)=0$，解得方程的两个根为：

$x_1=1,x_2=-\frac{1}{3}$

因为原函数的定义域要求 $x\in (0,+\infty )$，而 $x_2=-\frac{1}{3}<0$ 不在定义域内，故将其舍去。

由于分母 $2x^2>0$ 在 $(0,+\infty )$ 内恒大于 0，且因式 $3x+1>0$ 恒大于 0，因此导函数 $f^{\prime }(x)$ 的符号完全由因式 $(x-1)$ 的正负决定。

我们在定义域内对特征零点 $x=1$ 的两侧进行单调性单因素分析：

• 当 $x\in (0,1)$ 时， $x-1<0⟹f^{\prime }(x)<0$，此时函数 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 上单调递减；

• 当 $x\in (1,+\infty )$ 时， $x-1>0⟹f^{\prime }(x)>0$，此时函数 $f(x)$ 在 $(1,+\infty )$ 上单调递增。

由此可见，原函数在 $x=1$ 的左侧递减、右侧递增，故当 $x=1$ 时，函数取得唯一极小值，无极大值。

将 $x=1$ 代入原函数 $f(x)$ 中，精确计算该极小值：

$f(1)=-\ln 1+\frac{1}{2\times 1}+\frac{3}{2}\times 1+1$

由于 $\ln 1=0$，代入化简得：

$f(1)=0+\frac{1}{2}+\frac{3}{2}+1=2+1=3$

综上所述：

函数 $f(x)$ 的极小值为 $f(1)=3$，无极大值。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：导数的几何意义（水平切线斜率为0）、含有对数与分式复合结构的求导通分、单调区间的划分与极小值的计算。

2. 核心方法：因式分解符号提取法。在求出导函数后，一定要将其通分合并为单一的分式结构，并通过因式分解将其化为 $\frac{(Ax+B)(Cx+D)}{g(x)}$ 的形式。此时可以通过“对齐常数、直接看正负”来判断零点两侧的变号分布，能有效规避盲目代入特殊值测试符号的繁琐过程。

3. 避坑指南：

• 忽视定义域导致错留零点：部分考生在求出 $x_2=-\frac{1}{3}$ 后，由于忘记了对数函数隐含有自变量 $x>0$ 的天然定义域约束，错将其作为另一个极值点进行列表讨论。切记导数问题，定义域先行。

• 切线垂直方向弄反：题目给定的是“垂直于 $y$ 轴”，部分考生由于审题不仔细，误看成“垂直于 $x$ 轴”或“平行于 $y$ 轴”，错令斜率不存在或倾斜角为 $90^{\circ }$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题源于人教A版高中数学选择性必修第二册第五章《一元函数的导数及其应用》中利用导数研究函数的单调性与极值的经典大题。作为解答题的第一题，属于考查导数主干工具基本功的常规送分题。

2. 结论推广:

• 对数分式一阶极值通用模型：对于任意形如 $f(x)=a\ln x+\frac{b}{x}+cx+d(c>0)$ 的复合代数模型。

• 对其求导通分后，其分子恒表现为标准的一元二次多项式： $c{x}^2+ax-b=0$。

• 若通过切线等几何约束锁定参数满足 $a<0,b>0$，根据二次方程的根的判定，该导数方程在正实数域内有且仅有唯一的正根。

• 并且由于二次项系数 $c>0$ 且正根位于右侧，导函数在此唯一零点两侧的变号分布恒表现为“先负后正”（即左减右增）。

• 由此可得出通用快速得出结论：该结构模型在正实数域内必然只存在唯一的极小值，且绝不可能存在极大值。掌握此因式变号分布模型，在面对任何同类的导数大题时，均能提前看穿函数的单调性格局，从而极大地提升作答的严谨度与流畅度。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 16.01 直线的倾斜角与斜率

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2005-江西卷理-07 单-导数的几何意义

• 2005-福建卷理-19 解-导数的几何意义

• 2006-浙江卷理-19 解-导数工具在不等式恒成立问题中的应用