2012-重庆卷理-17 解-分布列

本题导读

本题考查相互独立事件的概率乘法公式。核心在于分类讨论法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2012年重庆卷(理)）甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一次.约定甲先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球 3 次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为 $\frac{1}{3}$ ，乙每次投篮投中的概率为 $\frac{1}{2}$ ，且各次投篮互不影响.

(1)求甲获胜的概率；

(2)求投篮结束时甲的投篮次数 $ξ$ 的分布列与期望.

🔍【思路分析】

破题导航

第（Ⅰ）问思路：

设 $A_{k}, B_{k}$ 分别表示甲、乙在第 $k$ 次投篮中投中。由题意知， $P (A_{k}) = \frac{1}{3}$ ， $P (B_{k}) = \frac{1}{2}$ ，其不中（对立事件）的概率分别为 $P (\overline{A_{k}}) = \frac{2}{3}$ ， $P (\overline{B_{k}}) = \frac{1}{2}$ 。

明确轮流投篮的时序：甲在第 1、3、5 回合投篮（分别对应他个人的第 1、2、3 次投篮）。

甲获胜包含三种互斥状态：(1) 甲第 1 次投中；(2) 甲第 1 次不中，乙第 1 次不中，甲第 2 次投中；(3) 甲前 2 次不中，乙前 2 次不中，甲第 3 次投中。将这三种互斥情况的概率相加。

第（Ⅱ）问思路：

确定随机变量 $ξ$ 的所有可能取值。因游戏最长持续到每人投球 3 次结束，且甲先投，故甲的投篮次数 $ξ$ 可能为 1，2，3。

当 $ξ = 1$ 时：意味着比赛在甲投完第 1 次后或在乙投完第 1 次时结束。其包含两种互斥状态：甲第 1 次直接投中；甲第 1 次未中但乙第 1 次投中。

当 $ξ = 2$ 时：意味着比赛在第 3 回合（甲第 2 次）或第 4 回合（乙第 2 次）结束。包含：甲1不中、乙1不中、甲2中；或甲1不中、乙1不中、甲2不中、乙2中。

当 $ξ = 3$ 时：意味着比赛一直推进到了第 5 回合（甲第 3 次投篮）。只要甲开始投第 3 次球，无论该球进与不进，游戏是否继续，甲的投篮总次数都已经注定为 3 次。对应前 4 次投篮（甲 2 次，乙 2 次）全部脱靶。

依次求出各分布概率，列出标准分布列，计算期望。

✅【答案】

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(1) $\frac{13}{27}$

(2) $P (ξ = 1) = \frac{2}{3}$ ， $P (ξ = 2) = \frac{2}{9}$ ， $P (ξ = 3) = \frac{1}{9}$ ， $E ξ = \frac{13}{9}$

✍【详细解析】

Abstract

（Ⅰ）解： 设 $A_{k}$ 表示“甲第 $k$ 次投篮投中”， $B_{k}$ 表示“乙第 $k$ 次投篮投中”，其中 $k = 1, 2, 3$ 。由题意知，各次投篮事件相互独立，且概率分别为： $P (A_{k}) = \frac{1}{3}, P (\overline{A_{k}}) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ $P (B_{k}) = \frac{1}{2}, P (\overline{B_{k}}) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

记“甲获胜”为事件 $C$ 。根据游戏规则，甲要获胜，只能在第 1 次、第 2 次或第 3 次投篮时投中且此前无人投中。这三种情况互为互斥事件，根据概率加法定理与独立事件乘法定理，事件 $C$ 的概率为： $P (C) = P (A_{1}) + P (\overline{A_{1}} \overline{B_{1}} A_{2}) + P (\overline{A_{1}} \overline{B_{1}} \overline{A_{2}} \overline{B_{2}} A_{3})$ $= P (A_{1}) + P (\overline{A_{1}}) P (\overline{B_{1}}) P (A_{2}) + P (\overline{A_{1}}) P (\overline{B_{1}}) P (\overline{A_{2}}) P (\overline{B_{2}}) P (A_{3})$

代入各项概率值进行计算： $P (C) = \frac{1}{3} + \frac{2}{3} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} + (\frac{2}{3})^{2} \times (\frac{1}{2})^{2} \times \frac{1}{3}$ $= \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{4}{9} \times \frac{1}{4} \times \frac{1}{3}$ $= \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{27} = \frac{9 + 3 + 1}{27} = \frac{13}{27}$

所以，甲获胜的概率为 $\frac{13}{27}$ 。

（Ⅱ）解： 投篮结束时，甲的投篮次数 $ξ$ 的所有可能取值为 1，2，3。

当 $ξ = 1$ 时：说明投篮在甲完成第 1 次投篮后就立即结束。包含两种情况：甲第 1 次投中（甲胜）；或者甲第 1 次未中而乙第 1 次投中（乙胜）。 $P (ξ = 1) = P (A_{1}) + P (\overline{A_{1}} B_{1}) = P (A_{1}) + P (\overline{A_{1}}) P (B_{1})$ 代入数据： $P (ξ = 1) = \frac{1}{3} + \frac{2}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$

当 $ξ = 2$ 时：说明投篮在甲完成第 2 次投篮后结束。包含两种情况：甲 1 不中、乙 1 不中，随后甲第 2 次投中（甲胜）；或者甲、乙第 1 次均未中，甲第 2 次也未中，随后乙第 2 次投中（乙胜）。 $P (ξ = 2) = P (\overline{A_{1}} \overline{B_{1}} A_{2}) + P (\overline{A_{1}} \overline{B_{1}} \overline{A_{2}} B_{2})$ $= \frac{2}{3} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} + \frac{2}{3} \times \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{2}$ $= \frac{1}{9} + \frac{1}{9} = \frac{2}{9}$

当 $ξ = 3$ 时：说明前 4 次投篮（甲 2 次、乙 2 次）全都没有投中，比赛被拖延到甲的第 3 次投篮回合。此时无论甲第 3 次是否投中，甲的投篮次数都已经注定为 3 次。 $P (ξ = 3) = P (\overline{A_{1}} \overline{B_{1}} \overline{A_{2}} \overline{B_{2}})$ $= \frac{2}{3} \times \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{9}$

由此可列出投篮结束时甲的投篮次数 $ξ$ 的分布列：

$ξ$ 1 2 3
$P$ $\frac{2}{3}$ $\frac{2}{9}$ $\frac{1}{9}$

最后，计算随机变量 $ξ$ 的数学期望 $E ξ$ ： $E ξ = 1 \times P (ξ = 1) + 2 \times P (ξ = 2) + 3 \times P (ξ = 3)$ $= 1 \times \frac{2}{3} + 2 \times \frac{2}{9} + 3 \times \frac{1}{9}$ $= \frac{6}{9} + \frac{4}{9} + \frac{3}{9} = \frac{13}{9}$

所以，甲投篮次数 $ξ$ 的数学期望为 $\frac{13}{9}$ 次。

$ξ$	1	2	3
$P$	$\frac{2}{3}$	$\frac{2}{9}$	$\frac{1}{9}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：相互独立事件的乘法公式、博弈轮流时序状态切分、概率分布列的归一性检验。

核心方法：时序状态流向法。处理类似“轮流投篮、先中者胜”的动态概率题，最稳妥的解法是在草稿纸上画出按回合推进的链条式流程图。通过标注每一个分叉点（中与不中）的依存概率，能确保写出的互斥组合不漏项。

避坑指南：

截断点概率的多项错认：本题第（Ⅱ）问中，计算 $P (ξ = 3)$ 是极易犯错的地方。很多考生习惯性地认为 $ξ = 3$ 仅包含“甲第 3 次投中获胜”的概率（即第一问的最后一项 $\frac{1}{27}$ ）。切记，只要游戏推进到了第 5 回合甲开始投第 3 个球，无论这个球进还是不进，甲的投篮次数都已经变成了 3 次。因此不需要在最后项后面去乘以 $P (A_{3})$ 。

概率总和归一化校验：列出分布列后，务必复核一遍各个单项概率的总和是否严格等于 1 （ $\frac{6}{9} + \frac{2}{9} + \frac{1}{9} = 1$ ），如果不等于 1，说明中间分段事件有重叠或遗漏。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题源于人教A版高中数学选择性必修第三册第七章《随机变量及其分布》中关于独立性与期望性质的课后综合提升大题。在概率论中属于经典的吸收马尔可夫链（Absorbing Markov Chain）或几何分布的有限截断模型。

结论推广:

双人有限博弈轮流期望通用模型：设甲、乙两人轮流进行独立试验，甲单次成功率为 $p$ ，乙单次成功率为 $q$ ，比赛最多进行 $N$ 轮（即甲最多尝试 $N$ 次）。

令 $Q = (1 - p) (1 - q)$ 为单个完整大回合中两人双双失败的联合概率。

游戏在第 $k (k < N)$ 次由甲结束或由乙结束的单项概率分别遵循级数几何收敛： $P (ξ = k) = Q^{k - 1} \cdot [p + (1 - p) q]$ 。

对应最高阶最后一项由于截断效应，其概率恒表现为前 $N - 1$ 回合完全失败的累积： $P (ξ = N) = Q^{N - 1}$ 。

掌握该博弈截断通用模型，在遇到任何多回合轮流投篮、抽签的期望问题时，均能直接通过公式对齐各项概率分布，实现考场上的高效快速得出。

🔗【关联脉络】

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2006-天津卷理-18 解-离散型随机变量的分布列

2007-天津卷理-18 解-离散型随机变量数学期望

2011-山东卷理-18 解-分布列

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