2012-陕西卷文-10 单-往返平均速度

本题导读

本题考查平均变化率模型，以及均值不等式。

📌【题干】

Question

（2012年陕西卷(文)） 小王从甲地到乙地的往返时速分别为 $a$ 和 $b$（$a<b$），其全程的平均时速为 $v$，则()

A. $a<v<\sqrt{ab}$　　　　B. $v=\sqrt{ab}$　　　　C. $\sqrt{ab}<v<\frac{a+b}{2}$　　　　D. $v=\frac{a+b}{2}$

🔍【思路分析】

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$v=\frac{2ab}{a+b}$（调和平均）。由 $a<\frac{2ab}{a+b}<\sqrt{ab}<\frac{a+b}{2}$ 得 $a<v<\sqrt{ab}$，选 A。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

设甲、乙两地相距 $s$，则往返总路程 $2s$，总时间 $\frac{s}{a}+\frac{s}{b}$，故

$v=\frac{2s}{\frac{s}{a}+\frac{s}{b}}=\frac{2ab}{a+b}$。

（1）$v>a⟺\frac{2ab}{a+b}>a⟺2b>a+b⟺b>a$，成立；

（2）由均值不等式 $a+b>2\sqrt{ab}$（$a\ne b$），故

$v=\frac{2ab}{a+b}<\frac{2ab}{2\sqrt{ab}}=\sqrt{ab}$。

所以 $a<v<\sqrt{ab}$，故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：“平均速度 $=$ 总路程除以总时间”的调和平均模型；均值不等式

核心方法：先严格按定义写出 $v=\frac{2ab}{a+b}$，再作差（或通分）与 $a$ 比较、用均值不等式与 $\sqrt{ab}$ 比较

避坑指南：平均时速不是两个速度的算术平均 $\frac{a+b}{2}$（那是等时间平均），等程往返是调和平均 $\frac{2ab}{a+b}$，且恒有 $\frac{2ab}{a+b}⩽\sqrt{ab}⩽\frac{a+b}{2}$；忽略”路程相同、时间不同”这一点就会误选（C）（D）。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：平均速度与均值不等式综合题，与 2012 年浙江卷文第 9 题、2013 年四川卷文第 13 题同族。

结论推广：对正数 $a\ne b$：调和平均 $<$ 几何平均 $<$ 算术平均，即 $\frac{2ab}{a+b}<\sqrt{ab}<\frac{a+b}{2}$；“等距离平均速度”恒等于调和平均。

方法推广：应用题中的”平均”先问清楚是”等时平均”还是”等程平均”：前者算术平均，后者调和平均，再套链式不等式比较。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 03.02 均值不等式

类题演练 (Links)

• 2012-浙江卷文-09 单-基本不等式最值
• 2013-四川卷文-13 填-基本不等式取等
• 2014-浙江卷文-16 填-均值不等式最值