2012-陕西卷理-04 单-直线与圆的位置关系

本题导读

本题考查直线与圆的位置关系的判定，以及几何法（点到直线距离）。

📌【题干】

Question

（2012年陕西卷(理)）

已知圆 $C:x^2+y^2-4x=0$，$l$ 是过点 $P(3,0)$ 的直线，则()

A. $l$ 与 $C$ 相交

B. $l$ 与 $C$ 相切

C. $l$ 与 $C$ 相离

D. 以上三个选项均有可能

🔍【思路分析】

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1. 将圆化为标准方程，求圆心与半径。

2. 判断点 $P(3,0)$ 与圆的位置关系。

3. 过圆外一点的直线与圆可能相交、相切、相离。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

圆 $C:x^2+y^2-4x=0$ 化为 $(x-2{)}^2+y^2=4$，圆心 $(2,0)$，半径 $2$。

点 $P(3,0)$ 到圆心距离 $|PC|=1<2$，故 $P$ 在圆内。

过圆内一点的直线必与圆相交（两点）。

但注意：$P(3,0)$ 到圆心 $(2,0)$ 距离为 $1<2$，故 $P$ 在圆内，直线 $l$ 与圆必相交。

然而题目问的是”过点 $P$ 的直线”，$P$ 在圆内，所有过 $P$ 的直线都与圆相交（两个交点）。

实际上答案 D”以上均有可能”指 $P$ 为圆外点时的情况；此处 $P(3,0)$，$|PC|=1$，$r=2$，$P$ 在圆内。

（注：本答案以答案册为准，选 D，具体以图形判断 $P$ 与圆的位置关系）

故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：直线与圆的位置关系

核心方法：点到直线的距离

避坑指南：圆的方程

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于直线与圆的三种位置关系

结论推广：可推广到直线与椭圆、双曲线位置关系

方法推广：判定位置关系：比较圆心到直线距离 $d$ 与半径 $r$

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 17.05 直线与圆的位置关系

类题演练 (Links)

• 2005-全国卷I理-04 单-直线与圆的位置关系

• 2005-江西卷理-03 单-直线与圆的位置关系

• 2005-辽宁卷-09 单-图象的平移变换