2012-陕西卷理-14 填-线性规划

本题导读

本题考查导数的几何意义（切线）与线性规划的综合。

📌【题干】

Question

（2012年陕西卷(理)）

设函数 $f(x)=\{\begin{array}{ll}\ln x,& x>0,\\ -2x-1,& x⩽0,\end{array}$ $D$ 是由 $x$ 轴和曲线 $y=f(x)$ 及该曲线在点 $(1,0)$ 处的切线所围成的封闭区域，则 $z=x-2y$ 在 $D$ 上的最大值为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 求曲线在 $(1,0)$ 处的切线方程。

2. 确定封闭区域 $D$ 的边界。

3. 用线性规划求 $z=x-2y$ 的最大值。

✅【答案】

点击查看答案

$2$

✍【详细解析】

Abstract

$f(x)=\ln x$（$x>0$），$f^{\prime }(x)=\frac{1}{x}$，$f^{\prime }(1)=1$。

切线：$y-0=1\cdot (x-1)$，即 $y=x-1$。

区域 $D$ 由 $x$ 轴、曲线 $y=\ln x$、切线 $y=x-1$ 围成（第一象限）。

目标 $z=x-2y$，顶点代入求最大值得 $z_{\max }=2$。

故答案为 $2$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：导数的几何意义（切线方程）

核心方法：线性规划

避坑指南：区域面积与最值

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于导数与线性规划综合

结论推广：可推广到曲线围成区域上的最值

方法推广：切线斜率 $=f^{\prime }(x_0)$

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.01 导数定义与几何意义

类题演练 (Links)

• 2002-新课标理-20 解-导数的几何意义

• 2005-全国卷I理-10 单-简单线性规划

• 2005-全国卷I理-17 解-三角函数的对称轴