2012-陕西卷理-16 解-正弦型函数

本题导读

本题考查正弦型函数的解析式与图象性质，以及三角求值。

📌【题干】

Question

（2012年陕西卷(理)）

函数 $f(x)=A\sin \left(\omega x-\frac{\pi }{6}\right)+1$（$A>0$，$\omega >0$）的最大值为 $3$，其图象相邻两条对称轴之间的距离为 $\frac{\pi }{2}$.

(1) 求函数 $f(x)$ 的解析式；

(2) 设 $\alpha \in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$，$f\left(\frac{\alpha }{2}\right)=2$，求 $\alpha$ 的值.

🔍【思路分析】

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1. 由最大值 $3$ 得 $A=2$。

2. 由相邻对称轴距离 $\frac{\pi }{2}$ 得周期 $\pi$，$\omega =2$。

3. 代入 $f(\frac{\alpha }{2})=2$ 求 $\alpha$。

✅【答案】

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(1) $f(x)=2\sin \left(2x-\frac{\pi }{6}\right)+1$

(2) $\alpha =\frac{\pi }{3}$

✍【详细解析】

Abstract

$f(x)=A\sin (\omega x-\frac{\pi }{6})+1$ 最大值为 $A+1=3$，故 $A=2$。

相邻对称轴距离 $=\frac{T}{2}=\frac{\pi }{2}$，故 $T=\pi$，$\omega =\frac{2\pi }{T}=2$。

$f(x)=2\sin (2x-\frac{\pi }{6})+1$。

$f(\frac{\alpha }{2})=2\sin (\alpha -\frac{\pi }{6})+1=2\Rightarrow \sin (\alpha -\frac{\pi }{6})=\frac{1}{2}$。

$\alpha \in (0,\frac{\pi }{2})$，$\alpha -\frac{\pi }{6}\in (-\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{3})$，故 $\alpha -\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{6}$，$\alpha =\frac{\pi }{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正弦型函数的解析式

核心方法：三角函数的图象与性质

避坑指南：三角求值

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于正弦型函数的性质

结论推广：可推广到 $y=A\sin (\omega x+\phi )+b$ 的各类问题

方法推广：由最值定 $A$、由周期定 $\omega$

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 2005-福建卷理-06 单-正弦型函数的图象与性质

• 2006-全国卷II理-02 单-正弦型函数的周期性

• 2006-山东卷理-17 解-三角函数周期性求和