2012-陕西卷理-18 解-线面垂直与投影

本题导读

本题考查线面垂直的判定与三垂线定理，以及命题与逆命题。

📌【题干】

Question

（2012年陕西卷(理)）

(1) 如图，证明命题”$a$ 是平面 $\pi$ 内的一条直线，$b$ 是 $\pi$ 外的一条直线（$b$ 不垂直于 $\pi$），$c$ 是直线 $b$ 在 $\pi$ 上的投影，若 $a\perp b$，则 $a\perp c$“为真；

(2) 写出上述命题的逆命题，并判断其真假（不需证明）.

🔍【思路分析】

破题导航

1. (1) 利用三垂线定理：$b$ 在平面 $\pi$ 上的投影为 $c$，若 $a\perp b$ 且 $a\perp$（$b$ 与投影的连线）则 $a\perp c$。

2. 证明 $a$ 垂直于 $b$ 与 $c$ 确定的平面。

3. (2) 写出逆命题并判断真假。

✅【答案】

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(1) 证明见解析

(2) 逆命题为真命题

✍【详细解析】

Abstract

(1) 设 $b$ 与 $\pi$ 交于 $O$，过 $b$ 上一点作 $\pi$ 的垂线，垂足连接 $O$ 得投影 $c$。

由 $b$ 与 $c$ 在垂直于 $\pi$ 的平面内，且 $a\perp b$、$a$ 在 $\pi$ 内、$a\perp$（$b$ 到 $\pi$ 的垂线），

由三垂线定理逆定理，$a\perp c$。故命题为真。

(2) 逆命题：“若 $a\perp c$，则 $a\perp b$“，由三垂线定理，逆命题亦为真。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：线面垂直的判定

核心方法：三垂线定理

避坑指南：命题与逆命题

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于立体几何垂直关系

结论推广：可推广到线面、线线的垂直证明

方法推广：三垂线定理及其逆定理是核心

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系

类题演练 (Links)

• 2005-全国卷I理-16 填-正方体的截面性质

• 2005-全国卷II理-06 单-双曲线的标准方程与几何性质

• 2005-全国卷III理-18 解-面面垂直的性质定理