2013-上海卷理-11 填-两角和差余弦

本题导读

本题考查两角和与差的余弦公式，以及和差化积公式。

📌【题干】

Question

（2013年上海卷(理)） 若 $\cos x\cos y+\sin x\sin y=\frac{1}{2}$，$\sin 2x+\sin 2y=\frac{2}{3}$，则 $\sin (x+y)=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 分析第一个条件：
   • 观察 $\cos x\cos y+\sin x\sin y$，这是典型的两角差的余弦公式结构。
   • 结论：$\cos (x-y)=\frac{1}{2}$。
2. 分析第二个条件：
   • 观察 $\sin 2x+\sin 2y$，可以利用正弦的和差化积公式进行变形。
   • 公式回顾：$\sin A+\sin B=2\sin \frac{A+B}{2}\cos \frac{A-B}{2}$。
   • 变形结果：$2\sin (x+y)\cos (x-y)=\frac{2}{3}$。
3. 联立求解：
   • 将第一个条件中求得的 $\cos (x-y)$ 的值整体代入变形后的第二个条件，即可解出 $\sin (x+y)$。

✅【答案】

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$\frac{2}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：利用两角差的余弦公式 由已知条件 $\cos x\cos y+\sin x\sin y=\frac{1}{2}$，得： $\cos (x-y)=\frac{1}{2}$

第二步：利用和差化积公式 由已知条件 $\sin 2x+\sin 2y=\frac{2}{3}$，根据和差化积公式： $\sin 2x+\sin 2y=2\sin \frac{2x+2y}{2}\cos \frac{2x-2y}{2}$ $=2\sin (x+y)\cos (x-y)$ 所以： $2\sin (x+y)\cos (x-y)=\frac{2}{3}$

第三步：代入求解 将 $\cos (x-y)=\frac{1}{2}$ 代入上式得： $2\sin (x+y)\times \frac{1}{2}=\frac{2}{3}$ $\sin (x+y)=\frac{2}{3}$

故填入答案为：$\frac{2}{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：熟练掌握三角恒等变换公式，特别是和差化积与两角和差公式。

核心方法：“结构识别”。看到三角函数的加减组合，应联想到和差化积；看到正余弦乘积的加减，应联想到和差公式。

避坑指南：不要尝试通过第一个方程解出 $x-y$ 具体角度，再代入第二个方程，这样会涉及多解讨论且过程繁琐。直接进行整体代换是最优解。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：余弦的和差化积公式、二倍角公式。

结论推广：此类题目的通法是利用公式将已知量和未知量统一到相同的“角度和”或“角度差”上。

方法推广：“结构识别”。看到三角函数的加减组合，应联想到和差化积；看到正余弦乘积的加减，应联想到和差公式。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 10.01 两角和与差及辅助角公式

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